Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt, N u {\displaystyle \mathrm {Nu} } , è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione.[1]

Prende il nome dall'ingegnere tedesco Ernst Kraft Wilhelm Nusselt[2].

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Sherwood.

Definizione matematica

Il numero di Nusselt può essere espresso dalla seguente relazione:[3][4]

N u = h d λ {\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}}

dove (indicando le unità di misura secondo il SI):

  • h {\displaystyle h} è il coefficiente di scambio termico, anche detto coefficiente convettivo in [ W m − 2 K − 1 ] {\displaystyle \left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-2}\mathrm {K} ^{-1}\right]} ;
  • d {\displaystyle d} è la lunghezza caratteristica in [ m ] {\displaystyle \left[\mathrm {m} \right]} , che dipende dal caso preso in esame (generalmente è pari al diametro equivalente del condotto);
  • λ {\displaystyle \lambda } è la conduttività termica in [ W m − 1 K − 1 ] {\displaystyle \left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]} .

Derivazione dalla legge di Fourier

Il numero di Nusselt si ottiene adimensionalizzando la legge di Fourier:

q = − λ ∇ T {\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T}

dove:

  • q {\displaystyle \mathbf {q} } è la densità di flusso termico in [ W m − 2 ] {\displaystyle \left[\mathrm {W} \,\mathrm {m} ^{-2}\right]} ;
  • λ {\displaystyle \lambda } è la conduttività termica;
  • T {\displaystyle T} la temperatura nel fluido in [ K ] {\displaystyle \left[\mathrm {K} \right]} .

Introducendo le seguenti quantità adimensionalizzate:

∇ ′ = d ∇ {\displaystyle \nabla '=d\nabla }
T ′ = T − T h T h − T c {\displaystyle T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}}

si ha:[5]

− ∇ ′ T ′ = q ( T h − T c ) d λ = h d λ {\displaystyle -\nabla 'T'={\frac {\mathbf {q} }{(T_{h}-T_{c})}}{\frac {d}{\lambda }}={\frac {hd}{\lambda }}}

dove si è utilizzata l'equazione q = h ( T h − T c ) {\displaystyle \mathbf {q} =h(T_{h}-T_{c})} .

L'equazione quindi diventa:

N u = − ∇ ′ T ′ {\displaystyle \mathrm {Nu} =-\nabla 'T'}

Interpretazione fisica

Il numero di Nusselt rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato.

Il valore unitario ( N u = 1 ) {\displaystyle (\mathrm {Nu} =1)} è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All'aumentare del valore di N u {\displaystyle \mathrm {Nu} } risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione.

Può essere visto anche come il rapporto tra la resistenza al trasporto di calore per diffusione e quella al trasporto di calore per convezione.

N u = h d λ = ( d λ A ) / ( 1 h A ) = R d i f f u s i o n e R c o n v e z i o n e {\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}=\left({\cfrac {d}{\lambda A}}\right)/\left({\cfrac {1}{hA}}\right)={\frac {R_{diffusione}}{R_{convezione}}}}

Applicazioni

Il numero di Nusselt viene utilizzato nei problemi di convezione termica, in quanto la sua determinazione permette di conoscere il coefficiente di scambio termico convettivo fra il fluido e la parete. Può perciò essere utile conoscerne il valore medio sulla parete in considerazione, ottenuto come media integrale:

N u ¯ = − 1 S ′ ∫ S ′ N u d ⁡ S ′ {\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\operatorname {d} S'}

dove:

S ′ = S d 2 {\displaystyle S'={\frac {S}{d^{2}}}}

Generalmente il numero di Nusselt è valutato in funzione del numero di Prandtl e del numero di Grashof per convezione naturale, oppure in funzione del numero di Prandtl e del numero di Reynolds per convezione forzata.
In particolare nel caso di convezione naturale può essere determinato dalla relazione seguente:[6]

N u = C G r n P r m {\displaystyle \mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Gr} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}}

mentre nel caso di convezione forzata può essere determinato dalla relazione seguente:

N u = C R e n P r m {\displaystyle \mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Re} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}}

Note

  1. ^ Longo, p. 219.
  2. ^ Bird 14.1
  3. ^ Longo, p. 342.
  4. ^ (EN) G. L. Shires, NUSSELT NUMBER, Begel House Inc., 4 febbraio 2011, ISBN 978-1-56700-456-4. URL consultato il 12 febbraio 2024.
  5. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Nusselt Number -- from Eric Weisstein's World of Physics, su scienceworld.wolfram.com. URL consultato il 12 febbraio 2024.
  6. ^ Rossi, p. 287.

Bibliografia

  • Sandro Longo, Analisi dimensionale e modellistica fisica: principi e applicazioni alle scienze ingegneristiche, Springer, 2011, ISBN 88-470-1871-4.
  • Nicola Rossi, Manuale del termotecnico, 2ª ed., Hoepli, 2003, ISBN 88-203-3095-4.
  • (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, Revised 2nd Edition, New York, John Wiley & Sons, 2007, ISBN 978-0-470-11539-8.

Voci correlate

Controllo di autoritàGND (DE) 4572035-6
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