Topologia algebraiczna

Ilustracja mapy granicznej ∂* dla sekwencji Mayera-Vietorisa na podwójnym torusie, gdzie 1-cykl x = u v jest sumą dwóch 1-łańcuchów, których granica leży na przecięciu A i B.

Topologia algebraiczna – dział matematyki, który zajmuje się badaniem przestrzeni topologicznych przy użyciu metod algebraicznych^[1].

Zazwyczaj polega ono na tym, że przestrzeniom topologicznym przyporządkowuje się pewne obiekty algebraiczne (przykładem takiego obiektu może być grupa podstawowa przestrzeni topologicznej). Przyporządkowanie takie powinno spełniać określone warunki, na przykład taki, że obiekty przyporządkowane przestrzeniom homeomorficznym (czyli izomorficznym w sensie topologicznym) są izomorficzne w sensie algebraicznym. W wielu teoriach dowodzi się ogóloniejszego twierdzenia o tym, że przyporządkowane obiekty algebraiczne są izomorficzne już dla przestrzeni topologicznych równoważnych homotopijnie. Homeomorfizm jest izomorfizmem w kategorii przestrzeni topologicznych, homotopijna równoważność w kategorii homotopijnej.

Następnie bada się uzyskane struktury algebraiczne i na tej podstawie wyciąga wnioski dotyczące własności wyjściowych przestrzeni topologicznych. Wykorzystuje się w tym celu między innymi przekształcenia pomiędzy kategorią przestrzeni topologicznych i kategorią struktur algebraicznych określonego rodzaju, które określa się mianem funktorów. Te ostatnie stanowią jedno z podstawowych pojęć teorii kategorii, która – podobnie jak algebra homologiczna – właśnie w topologii algebraicznej znajduje najliczniejsze zastosowania.

Zagadnienia

homotopia
droga
grupa podstawowa
przestrzeń nakrywająca
kompleksy łańcuchowe
bordyzm
teoria punktów stałych
grupy homologii
grupy kohomologii
operacje Steenroda

Zobacz też

algebra topologiczna
topologia
algebra

Przypisy

↑ Topologia algebraiczna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-24] .

Linki zewnętrzne

Barbara Mahler, Bernadette Stolz, H is for Homology (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 10 czerwca 2022 [dostęp 2023-05-29].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Algebraic Topology, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
Algebraic topology (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

Działy algebry

główne	elementarna wyższa abstrakcyjna liniowa i wieloliniowa
algebra abstrakcyjna	algebra homologiczna algebra przemienna algebra lokalna algebra uniwersalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego teoria reprezentacji
powiązane dyscypliny	algebraiczna teoria liczb algebraiczna teoria grafów algebra logiki analiza algebraiczna geometria algebraiczna K-teoria logika algebraiczna teoria kategorii teoria porządku topologia algebraiczna

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji