Hardys olikhet

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Hardys olikhet är en matematisk olikhet uppkallad efter Godfrey Harold Hardy som säger att om ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},...}$ är en talföljd av icke-negativa tal med något element skilt från noll gäller det att:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}^{p}}$

för varje positivt reellt tal ${\displaystyle p>1}$.

En integralversion av Hardys olikhet säger att om f är en integrerbar funktion med icke-negativa värden gäller:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)dt\right)^{p}dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}dx}$

med likhet om och endast om ${\displaystyle f(x)=0}$ nästan överallt.

Se även

• Carlemans olikhet