Гравитационная задача N тел

Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона.

Она формулируется следующим образом.

В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {m_i}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки r_i|_{t =0} = r_i0, v_i|_{t =0} = v_i0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {r} }_{i}}{dt}}={\mathbf {v} }_{i},}$

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {v} }_{i}}{dt}}=\sum \limits _{j\neq i}^{N}G\,m_{j}\,{\frac {{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}}{\left|{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}\right|^{3}}},}$

где ${\displaystyle m_{i},\,{\mathbf {r} }_{i},\,{\mathbf {v} }_{i}}$ — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

Аналитическое решение

Случай уединённой точки ${\displaystyle N=1}$ не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие — это как минимум парный акт.

Решением задачи двух тел ${\displaystyle N=2}$ является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом ${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\rightarrow 0}$. При этом теряется равноправие точек: ${\displaystyle m_{2}}$ принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр ${\displaystyle m_{1}}$ выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Следует учесть, что массы вообще не упоминаются в законах Кеплера.)

Для задачи трёх тел ${\displaystyle N=3}$ в 1912 году Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени и с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно^[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно^[2].

Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей^[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

На данный момент в общем виде задача ${\displaystyle N}$ тел для ${\displaystyle N>3}$ может быть решена только численно, причём для ${\displaystyle N=3}$ ряды Зундмана даже при современном^{[когда?]} уровне развития вычислительной техники использовать практически невозможно.

Численные методы

С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются, например, метод Рунге — Кутты (четвёртого или более высокого порядка).

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы для каждого шага растёт с ростом числа тел приблизительно как ${\displaystyle N^{2}}$, что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):

• Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел). Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.
• «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом^[3].

Интегралы движения

Несмотря на кажущуюся простоту формул, решения в виде конечных аналитических выражений для данной задачи в общем виде для ${\displaystyle N\geq 3}$ не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел^[4][5]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

В 1971 году В. М. Алексеев так прокомментировал соответствующий пассаж в «Небесной механике» Пуанкаре^[6]:

Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю^[7]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова^[8][9]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл^[10].

См. также

• MilkyWay@home
• Взаимодействие многих тел
• en:Gravity Pipe

Примечания

Литература

• James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.

Ссылки

• Java-апплет, визуализирующий некоторые частные случаи задачи
• Параллельная GPU реализация решения задачи N тел с обходом дерева частиц без использования стека