Raiz (matemática)

 Nota: Se procura pela operação inversa da potenciação, veja radiciação.

Em matemática, uma raiz ou "zero" da função consiste em determinar os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas no plano cartesiano. A função ${\displaystyle f}$ é um elemento ${\displaystyle x}$ no domínio de ${\displaystyle f}$ tal que ${\displaystyle f(x)=0}$. Por exemplo, considere a função:

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9}$

então ${\displaystyle 3}$ é uma raiz de ${\displaystyle f}$, porque:

${\displaystyle f(3)=3^{2}-6}$ × ${\displaystyle 3+9=0}$

se a função envia números reais em números reais, os seus zeros estão onde o seu gráfico cruza o eixo de ${\displaystyle x}$. Se ${\displaystyle P}$ é uma função polinomial de uma variável e ${\displaystyle a}$ é uma raiz de ${\displaystyle P}$, então:

${\displaystyle P(x)=(x-a)^{k}Q(x)}$

para algum número natural ${\displaystyle k}$ e alguma função polinomial ${\displaystyle Q(x)}$ tal que ${\displaystyle Q(a)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$. Diz-se então que ${\displaystyle a}$ é uma raiz de multiplicidade ${\displaystyle k}$; se ${\displaystyle k=1}$, diz-se que ${\displaystyle a}$ é uma raiz simples. É frequente que se contem as raízes de uma função polinomial com as raízes de multiplicidade ${\displaystyle k}$ contarem como se fossem ${\displaystyle k}$ raízes; chama-se a isto contar as raízes com as respectivas multiplicidades. Considere-se, por exemplo, a função polinomial de R em R definida por:

${\displaystyle P(x)=4x^{6}+8x^{5}+x^{4}-5x^{3}-x^{2}+x}$^[2]

como se tem:

${\displaystyle P(x)=4(x-1/2)^{2}(x+1)^{3}x}$

o número de raízes de ${\displaystyle P(x)}$ contadas com as respectivas multiplicidades é igual a ${\displaystyle 6}$ (a raiz ${\displaystyle 0}$ conta como uma única raiz, a raiz ${\displaystyle -1}$ conta como 3 raízes e a raiz ${\displaystyle 1/2}$ como ${\displaystyle 2}$).

A palavra raiz também pode referir-se a um número na forma ${\displaystyle x^{1/n}}$ com ${\displaystyle n}$ ∈ N, como a raiz quadrada ou outras raízes de ordem superior (raiz quadrada, raiz cúbica, …).