Medida de Lebesgue

Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,} . Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedades

A medida de Lebesgue em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,} é uma função μ : L ( R n ) → R + {\displaystyle \mu :{\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}} . A família L ( R n ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} é compostas por subconjuntos de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

  • Seja I = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × … × [ a n , b n ] ,     a i ≤ b i {\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}\,} , então I ∈ L ( R n ) {\displaystyle I\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} e:
μ ( I ) = ( b 1 − a 1 ) ⋅ ( b 2 − a 2 ) … ( b n − a n ) {\displaystyle \mu (I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})\,}
  • Em especial:
μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\emptyset )=0\,}
  • Se E j ∈ L ( R n ) {\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} então ⋃ j = 1 ∞ E j ∈ L ( R n ) {\displaystyle \bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} e, ainda:
μ ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) ≤ ∑ j = 1 ∞ μ ( E j ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (E_{j})} , onde a igualdade ocorre se os conjuntos E j {\displaystyle E_{j}\,} forem disjuntos dois a dois.
  • Se E j ∈ L ( R n ) {\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} então ⋂ j = 1 ∞ E j ∈ L ( R n ) {\displaystyle \bigcap _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,} .
  • Se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B\,} e μ ( B ) = 0 {\displaystyle \mu (B)=0\,} então A {\displaystyle A\,} é mensurável e tem medida zero.
  • É invariante por translação, ou seja, se A {\displaystyle A\,} é mensurável e A λ {\displaystyle A_{\lambda }\,} é definido como A λ = { x + λ : x ∈ A } {\displaystyle A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}\,} então A λ {\displaystyle A_{\lambda }\,} é mensurável e :
μ ( A ) = μ ( A λ ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{\lambda })\,}
  • Se A {\displaystyle A\,} é mensurável e T : R n → R n {\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,} é uma transformação linear, então T A := { T x : x ∈ A } {\displaystyle TA:=\{Tx:x\in A\}\,} é mensurável e:
μ ( T A ) = | T | μ ( A ) {\displaystyle \mu (TA)=|T|\mu (A)\,} , onde | T | {\displaystyle |T|\,} é o determinante da transformação.

Ver também

Wikilivros
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