Função Lipschitz contínua

Em matemática, sobretudo na análise real, uma função Lipschitz contínua é um critério de suavidade mais forte que a condição de continuidade uniforme (logo, de continuidade). O nome tem origem no matemático alemão Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.

As funções Lipschitz contínuas são um caso particular das funções Hölder contínuas.

Definição mais geral em espaços métricos

Sejam ${\displaystyle (X,d)}$ e ${\displaystyle (Y,d)}$ espaços métricos. Uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$ é dita Lipschitz contínua se existir uma constante real ${\displaystyle L>0}$ tal que:

$${\displaystyle d\left(f(x),f(y)\right)\leq L\cdot d(x,y),}$$

${\displaystyle \forall x,y\in X}$

O ínfimo das constantes ${\displaystyle L}$ para o qual a desigualdade acima é válida é chamado de constante de Lipschitz.

Caso particular nos reais

Uma função ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ é dita Lipschitz contínua, se existir uma constante ${\displaystyle L\geq 0}$ tal que:

$${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq L|x-y|,~~\forall x,y\in X}$$

Se ${\displaystyle f}$ for diferenciável então:

$${\displaystyle \left|{\frac {df}{dx}}\right|\leq L}$$

Generalização

Uma função ${\displaystyle f}$ é dita localmente Lipschitz contínua se para cada ponto ${\displaystyle x}$ do domínio existe uma vizinhança ${\displaystyle V(x)}$ tal que a restrição de ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle V(x)}$ é Lipschitz contínua.

Casos especiais

• Uma função ${\displaystyle f:X\to X}$ é dita uma contração uniforme se sua constante de Lipschitz for menor que 1.
• Uma função ${\displaystyle f:X\to X}$ é dita uma contração se:

  ${\displaystyle d\left(f(x),f(y)\right)<d(x,y),~~\forall x\neq y\in X}$

• Uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$ é dita não expansiva se sua constante de Lipschitz for igual a 1.

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Função afim
• Mapeamento contrativo