Fórmula de Stirling

Comparação da aproximação de Stirling com a função fatorial

Em matemática, a fórmula de Stirling ou aproximação de Stirling é uma fórmula que estabelece uma aproximação assintótica ao fatorial de um número. Recebe o nome do matemático James Stirling.

Na sua forma mais conhecida, a fórmula escreve-se:

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n\,!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over e}\right)^{n}} ,

onde e {\displaystyle e} é o número de Euler, tal que e = 2 , 71828... {\displaystyle e=2,71828...}

O que é uma notação para o limite:

lim n → + ∞ n ! 2 π n ( n e ) n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n\,! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1} .

A fórmula de Stirling é apresentada também de outra forma, comummente utilizada em aplicações na física, por exemplo. Quando n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } , o logaritmo natural de um fatorial é dado por:

ln ⁡ n ! = n ⋅ ln ⁡ n − n {\displaystyle \ln n!=n\cdot \ln n-n}

História

Esta fórmula foi parcialmente descoberta por Abraham de Moivre que estabeleceu o resultado:

n ! ∼ C n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle n\,!\sim C\;n^{n+1/2}\,\mathrm {e} ^{-n}} , onde C é uma constante real não nula.

Stirling completou a demonstração calculando o valor de C = 2 π {\displaystyle C={\sqrt {2\pi }}}

Ver também

Bibliografia

  • Abramowitz, M. & Stegun, I. (2002), Handbook of Mathematical Functions 
  • Nemes, G. (2010), «New asymptotic expansion for the Gamma function», Archiv der Mathematik, 95 (2): 161–169, doi:10.1007/s00013-010-0146-9 
  • Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals, ISBN 0-521-79001-8, New York: Cambridge University Press 
  • Whittaker, E. T. & Watson, G. N. (1996), A Course in Modern Analysis, ISBN 0-521-58807-3 4th ed. , New York: Cambridge University Press 
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