Espaço métrico

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto não-vazio onde as distâncias entre quaisquer de seus elementos é definida. Estas distâncias formam a métrica do conjunto. A partir daí, podemos definir propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados, que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre ${\displaystyle X}$ é uma função ${\displaystyle d:X\times X\to R}$ que satisfaz, para todo ${\displaystyle x,y,z\in X}$, as seguintes propriedades:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$;
2. Se ${\displaystyle x\neq y}$, então, ${\displaystyle d(x,y)>0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$;
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular).

Então o par ${\displaystyle (X,d)}$ é chamado espaço métrico.

Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.

Exemplos de Espaços Métricos

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}}$, é o espaço de dimensão ${\displaystyle n\,}$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto ${\displaystyle X}$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• ${\displaystyle (X,d)\,}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.}$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto ${\displaystyle A\subset X}$de um espaço métrico ${\displaystyle X}$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição ${\displaystyle d|_{A\times A}\to \mathbb {R} }$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então ${\displaystyle d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,}$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação ${\displaystyle B(x,r)\,}$ para representar a bola aberta de raio r, ${\displaystyle B(x,r)=\{y\ |\ d(x,y)<r\}\,}$, podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

• Um conjunto A é aberto quando ${\displaystyle \forall x\in A\ ,\ \exists \epsilon >0\ ,\ B(x,\epsilon )\subset A\,}$.
• A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 

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