Equalizador (teoria das categorias)

Um equalizador é uma construção de Teoria das categorias.

Dado um par de morfismos ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$ e ${\displaystyle g:a\rightarrow b}$ de uma categoria C, um equalizador de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ é um par ${\displaystyle (e,i)}$, ${\displaystyle e}$ objeto de C e ${\displaystyle i:e\rightarrow a}$ morfismo, tal que:

1. ${\displaystyle f\circ i=g\circ i}$;
2. Para todo ${\displaystyle h:c\rightarrow a}$, ${\displaystyle f\circ h=g\circ h}$ implica que existe um único ${\displaystyle k:c\rightarrow e}$ tal que ${\displaystyle i\circ k=h}$.

Chamamos ${\displaystyle h}$ de pré-equalizador. O conceito dual do equalizador é o coequalizador.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, equalizadores (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]

Exemplos

• Na categoria dos conjuntos ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$, o equalizador de ${\displaystyle f:a\to b,\,g:a\to b}$ é o conjunto ${\displaystyle e=\{x\in a|f(x)=g(x)\}}$, enquanto que ${\displaystyle i:e\to a}$ é a inclusão. Na categoria dos espaços topológicos, dos grupos, e outras, o equalizador tem mesma descrição, com estrutura topológica ou algébrica adicional.^[1]

Propriedades

O morfismo ${\displaystyle i:e\to a}$ no diagrama de equalizador é sempre monomorfismo.^[2]

Há também o conceito de equalizador de um conjunto arbitrário de morfismos de mesmo domínio e contradomínio.^[3]

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo

Referências

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Paulo Blauth Menezes & Edward Hermann Haeusler, Teoria das categorias para ciência da computação, Porto Alegre, Editora Sagra-Luzzatto.

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