Distância euclidiana

A distância euclidiana em duas dimensões.

Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

Definição

A distância euclidiana entre os pontos P = ( p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})} e Q = ( q 1 , q 2 , … , q n ) , {\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),} num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + ⋯ + ( p n − q n ) 2 = ∑ i = 1 n ( p i − q i ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}

Distância unidimensional

Para pontos unidimensionais, P = ( p x ) {\displaystyle P=(p_{x})} e Q = ( q x ) , {\displaystyle Q=(q_{x}),} a distância é computada como:

( p x − q x ) 2 = | p x − q x | . {\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.}

O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.

Distância bidimensional

Para pontos bidimensionais, P = ( p x , p y ) {\displaystyle P=(p_{x},p_{y})} e Q = ( q x , q y ) , {\displaystyle Q=(q_{x},q_{y}),} a distância é computada como:

( p x − q x ) 2 + ( p y − q y ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.}

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando P = ( r 1 , θ 1 ) {\displaystyle P=(r_{1},\theta _{1})} e Q = ( r 2 , θ 2 ) , {\displaystyle Q=(r_{2},\theta _{2}),} a distância é computada como:

r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) . {\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}

Tenha em mente que a distância euclidiana no plano cartesiano, portanto bidimensional, equivale à hipotenusa ( c {\displaystyle c} ) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), então, a distância euclidiana entre elas é 100 , 1249 {\displaystyle 100,1249}

( 400 − 300 ) 2 + ( 60 − 50 ) 2 = 10025 = 100 , 1249. {\displaystyle {\sqrt {(400-300)^{2}+(60-50)^{2}}}={\sqrt {10025}}=100,1249.}

Distância tridimensional

Para pontos tridimensionais, P = ( p x , p y , p z ) {\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})} e Q = ( q x , q y , q z ) , {\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),} a distância é computada como:

( p x − q x ) 2 + ( p y − q y ) 2 + ( p z − q z ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}

Distância n-dimensional

Para pontos n-dimensionais, P = ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})} e Q = ( q 1 , q 2 , . . . , q n ) , {\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),} a distância é computada como:

( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + . . . + ( p n − q n ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}

Ver também