Zmodyfikowana transformata Z

Zmodyfikowana transformata Z (oznaczana Z_m) – odmiana transformaty Z, pozwalająca wyznaczyć oryginał transformaty dyskretnej w chwilach niebędących chwilami próbkowania, dzięki fikcyjnemu opóźnieniu funkcji ${\displaystyle f(t)}$ o odcinek ${\displaystyle \Delta T.}$ Jest to korzystne w momencie, gdy dla dwóch różnych funkcji ${\displaystyle f_{1}(t)}$ i ${\displaystyle f_{2}(t)}$ otrzymuje się te same transformaty Z: ${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z).}$

Zmieniając opóźnienie ${\displaystyle \Delta T}$ w sposób ciągły, w granicach od 0 do ${\displaystyle T,}$ można uzyskać wartości funkcji ${\displaystyle f(t)}$ nie tylko dla ${\displaystyle t=kT\ (k=1,2,...),}$ ale również dla wszystkich wartości czasu:

${\displaystyle t=(k-\Delta )T\ \ \ {\mbox{ dla }}0\leqslant \Delta \leqslant 1.}$

Dogodnie jest stosować podstawienie:

${\displaystyle \Delta =1-m\ \ \ {\mbox{ dla }}0\leqslant m\leqslant 1,}$

w wyniku którego otrzymuje się:

${\displaystyle t=(k-1+m)T.}$

Zmodyfikowana transformata Z definiowana jest wzorem:

${\displaystyle F(z,m)=Z_{m}\{f[(k-1+m)T]\}=\sum _{k=0}^{\infty }f[(k-1+m)T]z^{-k}.}$

W szczególności dla m = 1 otrzymuje się zwykłą transformatę Z:

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)z^{-k}=F(z).}$

Tabela transformat Z_m

f(t)	F(z,m)
1(t)	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$
t	${\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}}$
e−at	${\displaystyle {\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$
1 – e−at	${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$
sin ωt	${\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}$

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• transformata Laplace’a
• odwrotna transformata Laplace’a
• transformata Z
• odwrotna transformata Z