Układ singularny

Układ uogólniony o równaniach stanu w postaci:

E x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , {\displaystyle \mathbf {E} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) , {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}

gdzie:

  • zmienne: wejściowe u ( t ) ∈ R m , {\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},} wyjściowe y ( t ) ∈ R p {\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}} i zmienne stanu x ( t ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}} oraz
  • macierz stanu A ∈ R q n , {\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},} macierz wyjść C ∈ R p n , {\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},} macierz wejść B ∈ R q m , {\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},} macierz przenoszenia D ∈ R p m {\displaystyle \mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{pm}} oraz E ∈ R q n , {\displaystyle \mathbf {E} \in \mathbb {R} ^{qn},}

nazywany jest układem singularnym, jeśli rząd E = r < n . {\displaystyle \mathbf {E} =r<n.} W przypadku szczególnym, gdy q = n , {\displaystyle q=n,} wyżej podany układ jest singularny, jeżeli d e t E = 0 {\displaystyle det\mathbf {E} =0} (tzn. E {\displaystyle \mathbf {E} } jest macierzą osobliwą).

Rozkład na podukłady

Istnieją takie macierze nieosobliwe P , Q ∈ R n n , {\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \in \mathbb {R} ^{nn},} że układ singularny opisany równaniami podanymi na wstępie (przy założeniu, że pęk macierzy ( E , A ) {\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {A} )} jest regularny), można rozłożyć na:

  • układ wolny (standardowy)
x 1 ˙ ( t ) = A 1 x 1 ( t ) + B 1 u ( t ) , {\displaystyle {\dot {\mathbf {x_{1}} }}(t)=\mathbf {A_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {B_{1}u} (t),}
y 1 ( t ) = C 1 x 1 ( t ) + D 1 u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y_{1}} (t)=\mathbf {C_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {D_{1}u} (t)}
  • i układ szybki (ściśle singularny)
N x 2 ˙ ( t ) = x 2 ( t ) + B 2 u ( t ) , {\displaystyle \mathbf {N} {\dot {\mathbf {x_{2}} }}(t)=\mathbf {x_{2}} (t)+\mathbf {B_{2}u} (t),}
y 2 ( t ) = C 2 x 2 ( t ) + D 2 u ( t ) , {\displaystyle \mathbf {y_{2}} (t)=\mathbf {C_{2}x_{2}} (t)+\mathbf {D_{2}u} (t),}

gdzie N ∈ R n 2 n 2 . {\displaystyle \mathbf {N} \in \mathbb {R} ^{n_{2}n_{2}}.}

Przykład układu singularnego

Niech dany będzie układ z proporcjonalno-różniczkowym sprzężeniem zwrotnym opisany równaniami:

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}
y ( t ) = C x ( t ) , {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t),}
u ( t ) = v ( t ) − F 1 y ( t ) − F 2 y ˙ ( t ) , {\displaystyle \mathbf {u} (t)=\mathbf {v} (t)-\mathbf {F_{1}} \mathbf {y} (t)-\mathbf {F_{2}} {\dot {\mathbf {y} }}(t),}

gdzie:

  • zmienne: wejściowe u ( t ) ∈ R m , {\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},} wyjściowe y ( t ) ∈ R p {\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}} i zmienne stanu x ( t ) ∈ R n , {\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n},} v ( t ) ∈ R m {\displaystyle \mathbf {v} (t)\in \mathbb {R} ^{m}} nowym wektorem wymuszenia oraz
  • macierz stanu A ∈ R q n , {\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},} macierz wyjść C ∈ R p n , {\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},} macierz wejść B ∈ R q m , {\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},} F 1 , F 2 ∈ R q p . {\displaystyle \mathbf {F_{1}} ,\mathbf {F_{2}} \in \mathbb {R} ^{qp}.}

Podstawiając drugie z powyższych równań do trzeciego, a otrzymane w ten sposób wyrażenie do pierwszego, otrzymujemy:

[ I + B F 2 C ] x ˙ ( t ) = [ A − B F 1 C ] x ( t ) + B v ( t ) . {\displaystyle \mathbf {[I+BF_{2}C]} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {[A-BF_{1}C]x} (t)+\mathbf {Bv} (t).}

Układ opisany powyższym równaniem (oraz równaniem y ( t ) = C x ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)} ) jest układem singularnym, jeśli macierz E = [ I + B F 2 C ] {\displaystyle \mathbf {E=[I+BF_{2}C]} } jest macierzą osobliwą.