Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra

Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra – klasyczne twierdzenie analizy zespolonej dotyczące funkcji analitycznych w kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, które są w pewnym sensie rozwinięciami wielomianów, przypominającymi rozwinięcia Taylora, o pewnych szczególnych własnościach. Twierdzenie udowodnione w roku 1911 przez Constantina Carathéodory’ego i Lipóta Fejéra^[1].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle p(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}}$ będzie wielomianem zmiennej zespolonej. Istnieje wówczas dokładnie jedna funkcja:

${\displaystyle B^{*}(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }c_{k}^{*}z^{k},}$

która jest analityczna w kole jednostkowym oraz minimalizuje funkcjonał

${\displaystyle \|B\|:=\sup _{z\leqslant 1}|B(z)|}$

spośród wszystkich (analitycznych) rozwinięć ${\displaystyle B(z)}$ postaci

${\displaystyle B(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }c_{k}z^{k}.}$

Ponadto, jeżeli ${\displaystyle B^{*}(z)}$ jest skończonym iloczynem Blaschke’go oraz ${\displaystyle p(z)\neq 0,\,z\in \mathbb {C} ,}$ to ${\displaystyle B^{*}(z)}$ ma co najwyżej n zer.

Przypisy