Stała Erdősa-Borweina

Stała Erdősa-Borweina – suma szeregu złożonego z odwrotności liczb Mersenne’a. Nazwana tak na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.

Z definicji

E B = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 ≈ 1,606 69   51524   15291   763 … {\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}60669\ 51524\ 15291\ 763\dots }

Można pokazać, że następujące określenia są równoważne z powyższą definicją:

E B = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 2 n + 1 2 n − 1 {\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}
E B = ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 2 m n {\displaystyle E_{B}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}
E B = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle E_{B}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}
E B = ∑ n = 1 ∞ σ 0 ( n ) 2 n {\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}

gdzie σ 0 ( n ) = d ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)} jest funkcją, przypisującą liczbie n liczbę jej dodatnich podzielników. Aby dowieść równoważność powyższych sum, wystarczy zauważyć, że można je zapisać w postaci szeregu Lamberta.

W roku 1948 Paul Erdős pokazał, że liczba E B {\displaystyle E_{B}} jest niewymierna.

Zobacz też

  • p
  • d
  • e
Stałe matematyczne
Najważniejsze stałe
  • π – stosunek obwodu do średnicy koła
  • e – podstawa logarytmu naturalnego, liczba Eulera
  • φ – złoty podział odcinka
  • γ – stała Eulera-Mascheroniego
  • κ – stała Chinczyna
  • A – stała Apéry’ego
  • δ – pierwsza stała Feigenbauma
  • α – druga stała Feigenbauma
  • K – stała Catalana
Inne stałe
  • Λ – stała de Bruijna-Newmana
  • EB – stała Erdősa-Borweina
  • M – stała Meissela-Mertensa
  • B2, B4 – stałe Bruna
  • B´L – stała Legendre’a
  • K – stała Sierpińskiego
  • C2 – stała liczb pierwszych bliźniaczych
Tematy powiązane