Skala betów

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie

Dla każdej liczby kardynalnej κ , {\displaystyle \kappa ,} symbol 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów κ . {\displaystyle \kappa .}

  • Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych α ∈ O N {\displaystyle \alpha \in \mathbf {ON} } definiuje się ciąg ⟨ ℶ α : α ∈ O N ⟩ {\displaystyle \langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle } (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):
(i) ℶ 0 = ℵ 0 {\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}} jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
(ii) ℶ α + 1 = 2 ℶ α , {\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}
(iii) jeśli γ {\displaystyle \gamma } jest liczbą graniczną, to
ℶ γ = lim α < γ ℶ α = ⋃ α < γ ℶ α . {\displaystyle \beth _{\gamma }=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }.}

Ciąg ⟨ ℶ α : α ∈ O N ⟩ {\displaystyle \langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle } jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech κ {\displaystyle \kappa } będzie liczbą kardynalną.

  • Przez indukcję po liczbach porządkowych α ∈ O N {\displaystyle \alpha \in \mathbf {ON} } zdefiniować można ciąg ⟨ ℶ α ( κ ) : α ∈ O N ⟩ : {\displaystyle \langle \beth _{\alpha }(\kappa )\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle {:}}
(a) ℶ 0 ( κ ) = κ , {\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}
(b) ℶ α + 1 ( κ ) = 2 ℶ α ( κ ) , {\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}
(c) jeśli γ {\displaystyle \gamma } jest liczbą graniczną, to
ℶ γ ( κ ) = lim α < γ ℶ α ( κ ) = ⋃ α < γ ℶ α ( κ ) . {\displaystyle \beth _{\gamma }(\kappa )=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa )=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa ).}

Własności i przykłady

  • ℶ α = ℶ α ( ℵ 0 ) {\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})} dla każdego α . {\displaystyle \alpha .}
  • Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że ℶ 1 = ℵ 1 , {\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1},} a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że ( ∀ α ∈ O N ) ( ℶ α = ℵ α ) . {\displaystyle (\forall \alpha \in \mathbf {ON} )(\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }).}
  • ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru R {\displaystyle \mathbb {R} } wszystkich liczb rzeczywistych.
  • ℶ 2 {\displaystyle \beth _{2}} jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z R {\displaystyle \mathbb {R} } w R . {\displaystyle \mathbb {R} .}
  • Istnieją liczby porządkowe α {\displaystyle \alpha } takie, że α = ℶ α {\displaystyle \alpha =\beth _{\alpha }} (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli κ {\displaystyle \kappa } jest liczbą silnie nieosiągalną, to ℶ κ = κ , {\displaystyle \beth _{\kappa }=\kappa ,} ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ℶ 0 , ℶ ℶ 0 , ℶ ℶ ℶ 0 , … {\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\dots }
  • ℶ ω {\displaystyle \beth _{\omega }} ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej κ < ℶ ω {\displaystyle \kappa <\beth _{\omega }} mamy również 2 κ < ℶ ω . {\displaystyle 2^{\kappa }<\beth _{\omega }.}

Bibliografia

  • Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 55, 56. ISBN 3-540-44085-2.