Przestrzeń zerowymiarowa

Przestrzeń zerowymiarowa – przestrzeń topologiczna ( X , τ ) , {\displaystyle (X,\tau ),} która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń X {\displaystyle X} ma wymiar ind zero.

Czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów Ind {\displaystyle \operatorname {Ind} } lub dim . {\displaystyle \dim .} Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie dim {\displaystyle \dim } ).

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi:

  • każda przestrzeń dyskretna,
  • przestrzeń liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } z topologią podprzestrzeni prostej rzeczywistej,
  • przestrzeń Cantora 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }} (która jest homeomorficzna z trójkowym zbiorem Cantora),
  • przestrzeń Baire’a N {\displaystyle {\mathcal {N}}} (jest ona homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych),

przestrzeń Stone’a danej algebry Boole’a.

Własności

  • Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest całkowicie regularna.
  • Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty.
  • Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa.
  • Jeśli X , Y {\displaystyle X,Y} są przestrzeniami topologicznymi, X {\displaystyle X} jest zerowymiarowa, f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest przestrzenią zerowymiarową.
  • Każda zerowymiarowa przestrzeń T 1 {\displaystyle T_{1}} jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora 2 I {\displaystyle 2^{I}} (dla pewnego zbioru indeksów I {\displaystyle I} ).
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne:
  • X {\displaystyle X} jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie ind {\displaystyle \operatorname {ind} } ),
  • Ind ⁡ X = 0 , {\displaystyle \operatorname {Ind} X=0,}
  • dim ⁡ X = 0. {\displaystyle \dim X=0.}
  • Każda przestrzeń X ∈ T 1 , {\displaystyle X\in T_{1},} która ma wymiar dim ⁡ X = 0 {\displaystyle \dim X=0} lub wymiar Ind ⁡ X = 0 {\displaystyle \operatorname {Ind} X=0} jest zerowymiarowa (w sensie ind {\displaystyle \operatorname {ind} } ).

Zobacz też