Plamka Airy’ego

Dyfrakcja światła lasera na otworze kołowym
Wygląd plamki Airy’ego, symulacja komputerowa

Plamka Airy’ego, krążek Airy’ego[1] – obraz w postaci jasnej plamki oraz jasnych i ciemnych okręgów powstający w wyniku dyfrakcji światła na otworze kołowym. Sposób powstawania plamki opisał po raz pierwszy George Airy w pracy z 1835 roku[2].

Natura zjawiska

Obserwowany efekt

Zgodnie z prawami optyki geometrycznej za otworem kołowym na ekranie powinien powstać również kołowy obraz o średnicy zbliżonej do rozmiarów otworu. W miarę zmniejszania się średnicy otworu, średnica obrazu też powinna maleć. Obserwuje się jednak zjawisko dokładnie odwrotne – średnica obrazu rośnie, chociaż robi się on coraz słabszy. Ponadto obraz nie jest jednorodnym kołem, a jasną plamką otoczoną na przemian jasnymi i ciemnymi pierścieniami (prążkami).

Wyjaśnienie fizyczne

Zgodnie z zasadą Huygensa, każdy punkt otworu staje się źródłem fali kulistej. Fale pochodzące z różnych stref otworu interferują ze sobą dając tzw. obraz dyfrakcyjny. Powstanie obrazu dyfrakcyjnego (obszarów jaśniejszych i ciemniejszych) jest możliwe, ponieważ istnieje ograniczenie w postaci brzegu otworu, dzięki czemu za otworem nie powstaje fala płaska. Mówi się też, że światło ugina się na brzegach otworu (ulega dyfrakcji).

Opis formalny

Kątowe rozmiary poszczególnych ciemnych pierścieni wyrażone są wzorem

θ n = arcsin ⁡ ( J ( n ) λ d ) , {\displaystyle \theta _{n}=\arcsin \left({\frac {J(n)\lambda }{d}}\right),}

a wobec niewielkich wartości kątów θ n {\displaystyle \theta _{n}} wzór ten można zapisać prościej

θ n ≈ J ( n ) λ d , {\displaystyle \theta _{n}\approx {\frac {J(n)\lambda }{d}},}

gdzie:

d {\displaystyle d} – średnica otworu,
λ {\displaystyle \lambda } – długość fali świetlnej,
n {\displaystyle n} – rząd widma (numer ciemnego pierścienia licząc od środka obrazu),
J ( n ) {\displaystyle J(n)} – funkcja Bessela pierwszego rzędu.

Wzór ten został wyprowadzony również przez Airy’ego w 1835 roku Widać z niego, że istotnie, zmniejszanie średnicy otworu d {\displaystyle d} powoduje zwiększanie rozmiaru kątowego pierścieni.

Przykładowe wartości funkcji Bessela
Rząd widma 1 2 3 4 5
J ( n ) {\displaystyle J(n)} 1,220 2,233 3,238 4,241 5,243

Znaczenie historyczne

Obserwacja Airy’ego potwierdzona późniejszymi obliczeniami była kolejnym, po doświadczeniu Younga, potwierdzeniem falowej natury światła.

Wpływ na zdolność rozdzielczą przyrządów

Plamkę Airy’ego można zaobserwować jako obraz punktu powstający przy przejściu światła przez układ optyczny bez aberracji z kołową przesłoną aperturową. Powstawanie takich niepunktowych obrazów powoduje, ograniczenie możliwości rozróżniania szczegółów przez układ optyczny, np. mikroskop czy teleskop. Dlatego występowanie dyfrakcji ogranicza zdolność rozdzielczą przyrządów optycznych.

Średnica plamki Airy’ego w ognisku teleskopu o średnicy czynnej d {\displaystyle d} i ogniskowej f {\displaystyle f} dla długości fali λ {\displaystyle \lambda } wynosi[3]:

D = 2,439 32 λ f d {\displaystyle D=2{,}43932\,\lambda \,{\frac {f}{d}}}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Airy’ego plamka, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-12-03] .
  2. ↑ G.B.G.B. Airy G.B.G.B., On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture, „Transactions of the Cambridge Philosophical Society”, 5, 1835, s. 283–291 .
  3. ↑ Correlation of mid-spatial features to image performance in aspheric mirrors. s. 2. [dostęp 2015-06-28].

Bibliografia

  • Jurgen R. Meyer-Arendt: Wstęp do optyki. Wyd. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
  • Britannica: technology/Airy-disk
  • Catalana: 0001395