Niestabilność Jeansa

Niestabilność Jeansa – zależność opisująca warunki jakie muszą być spełnione do zapadania grawitacyjnego obłoków materii i formowania się gromad galaktyk, galaktyk, gwiazd, planet itp. Zapadanie obłoku zachodzi, gdy obłok gazu nie jest w stanie zachować równowagi hydrostatycznej, którą dla jednorodnego kulistego obłoku określa wzór:

d p d r = − G ρ M o b r 2 , {\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho M_{ob}}{r^{2}}},}

gdzie:

M o b {\displaystyle M_{ob}} – masa części obłoku od jego środka do rozważanego miejsca,
p {\displaystyle p} – ciśnienie w analizowanym miejscu,
ρ {\displaystyle \rho } – gęstość,
G {\displaystyle G} – stała grawitacji,
r {\displaystyle r} – promień, odległość od środka obłoku do analizowanego miejsca.

Równowaga jest trwała (stabilna), jeżeli małe zaburzenia są wygaszane w czasie, natomiast niestabilna, kiedy ulegają wzmocnieniu. Ogólnie chmura jest niestabilna, jeśli jest albo bardzo masywna w danej temperaturze, albo bardzo chłodna przy danej masie; w tych okolicznościach ciśnienie gazu nie może pokonać grawitacji i chmura zapadnie się.

Masa Jeansa

Masa Jeansa została nazwana na cześć brytyjskiego fizyka Sir Jamesa Jeansa, który badał zjawisko kolapsu grawitacyjnego obłoków gazu. Jeans pokazał, iż w pewnych warunkach, obłok gazu lub jego część, może stać się niestabilny i zacząć się zapadać, jeżeli gradient ciśnienia nie będzie w stanie zrównoważyć siły grawitacji. Ponadto pokazał, że dla ustalonych parametrów fizycznych obłoku (tj. temperatura, gęstość itp.), istnieje ściśle określona masa, po przekroczeniu której obłok ulega zapadaniu i będzie się kurczył, dopóki wytworzone ciśnienie nie przeciwstawi się kolapsowi. Jeans podał wzór pozwalający określić stabilność obłoku tylko na podstawie jego gęstości i temperatury.

Przybliżoną masę krytyczną można wydedukować z rozważań fizycznych. Niech obłok gazu będzie jednorodną kulą o promieniu R , {\displaystyle R,} masie M {\displaystyle M} oraz określonej gęstości i ciśnieniu, wyrażonymi przez prędkość dźwięku c s . {\displaystyle c_{s}.} Jeżeliby w niewielkim stopniu ścisnąć hipotetyczny obłok i pozostawić działaniu ciśnienia, to fale ciśnienaia (dźwiękowe) odbudowywać stan równowagi (zmieniając gradient ciśnienia). Czas dotarcia zmiany do środka obłoku zależy od prędkości dźwięku w gazie:

t d z w = R c s ≈ 0 , 5  Myr ⋅ R 0.1  pc ⋅ ( c s 0 , 2  km s − 1 ) − 1 {\displaystyle t_{dzw}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0{,}5{\mbox{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\mbox{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{-1}}

Równocześnie siła grawitacji będzie próbowała jeszcze bardziej ścisnąć obłok w skali czasowej spadku swobodnego:

t f f = 1 ( G ρ ) 1 2 ≈ 2  Myr ⋅ ( n 10 3  cm − 3 ) − 1 2 {\displaystyle t_{ff}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}

gdzie:

G {\displaystyle G} – stała grawitacji,
ρ {\displaystyle \rho } – gęstość,
n {\displaystyle n} – koncentracja cząsteczek gazu.

W zależności od tego, która skala czasowa jest krótsza, obłok będzie:

  • stabilny – t d z w < t f f , {\displaystyle t_{dzw}<t_{ff},} oscylacje ciśnienia przywrócą stan równowagi,
  • niestabilny – t d z w > t f f , {\displaystyle t_{dzw}>t_{ff},} siła grawitacji przeważy i obłok zapadnie się.

Wychodząc z warunku niestabilności ( t d z w > t f f ) , {\displaystyle (t_{dzw}>t_{ff}),} można pokazać, iż istnieje pewna charakterystyczna długość R J {\displaystyle R_{J}}

R J = c s ( G ρ ) 1 2 ≈ 0 , 4  pc ⋅ c s 0 , 2  km s − 1 ⋅ ( n 10 3  cm − 3 ) − 1 2 {\displaystyle R_{J}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0{,}4{\mbox{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}

zwana długością Jeansa.

Wszystkie jednorodne, sferycznie symetryczne obłoki materii o promieniu R > R J {\displaystyle R>R_{J}} są niestabilne grawitacyjnie.

Z założenia jednorodności i sferycznej symetrii obłoku można, na podstawie długości Jeansa, wyprowadzić wzór na masę krytyczną:

M J = 4 π 3 ρ ( R J 2 ) 3 = π 6 ⋅ c s 3 G 3 2 ρ 1 2 ≈ 2  M ⊙ ⋅ ( c s 0 , 2  km s − 1 ) 3 ( n 10 3 cm − 3 ) − 1 2 . {\displaystyle M_{J}={\frac {4\pi }{3}}\rho \left({\frac {R_{J}}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}

Zobacz też