Lodovico Ferrari

Lodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia^[1].

Życiorys

Po przedwczesnej śmierci ojca, Aleksandra Ferrariego, Lodovico zamieszkał u swego stryja Vincenta. Stryjeczny brat Lodovica podjął pracę służącego u Girolama Cardana, jednak samowolnie porzucił tę posadę po dość krótkim czasie. Cardano zażądał od Vincenta aby przysłał mu syna z powrotem do służby, ten jednak wysłał swego bratanka Lodovica. W ten sposób, w wieku lat czternastu, Lodovico został służącym i pomocnikiem Cardana. Ten ostatni, po odkryciu że Lodovico potrafi czytać i pisać, uczynił nastoletniego Lodovico swoim asystentem i studentem.

W 18. roku życia Lodovico zaczął uczyć matematyki, a w 1541 objął posadę wykładowcy geometrii w Fundacji Piatti (pozycję tę wcześniej zajmował Cardano).

Z racji swojej pozycji u boku Cardana, a także wkładu w rozwiązywanie równań był uwikłany w spór pomiędzy Cardanem i Tartaglią. Po opublikowaniu przez Cardana dzieła Ars Magna, Tartaglia starał się wezwać Cardana do publicznej debaty i zawodów matematycznych. Do ich „pojedynku” nigdy nie doszło, natomiast Tartaglia i Ferrari wymienili wiele oskarżeń i obraz w listach otwartych pisanych przy tej okazji. 10 sierpnia 1548, w Mediolanie, doszło do debaty pomiędzy Tartaglią i Ferrarim. Z formalnego punktu widzenia, potyczka nie została rozstrzygnięta bowiem Tartaglia opuścił miasto przed jej ukończeniem. Jednak obserwujący zawody uznali, że Lodovico Ferrari posiada wiedzę i zrozumienie równań stopni 3 i 4 daleko przewyższającą wszystkich innych. Przyniosło to sporą sławę i uznanie młodemu Lodovico.

Po debacie Ferrari dostał wiele ofert pracy, akceptując posadę urzędnika podatkowego przy gubernatorze Mediolanu. W 1565 uzyskał pozycję profesora na Uniwersytecie Bolońskim.

Równania czwartego stopnia

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Cardana w Ars Magna w 1545.

W XVI wieku w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych, więc rozważane równania miały wiele nierównoważnych form (w celu zapewnienia dodatniości współczynników). Na przykład równanie ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ było uważane za różne od równania ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}=cx^{2}+dx+e.}$ Wszystkie 20 przypadków równań czwartego stopnia zostały w pełni opisane i rozwiązane w Ars magna.

Używając współczesnych oznaczeń, naszkicujemy metodę Ferrariego zastosowaną do równania

${\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0.}$

(1)

Równanie ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ może być zredukowane do powyższego przez podzielenie obu stron przez ${\displaystyle a}$ i podstawienie ${\displaystyle x=u-{\frac {b}{4a}}.}$

Równanie (1) przekształcamy do ${\displaystyle u^{4}+2pu^{2}+p^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2},}$ a następnie

${\displaystyle (u^{2}+p)^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2}.}$

(2)

Używając równania (2), dla liczby ${\displaystyle v}$ możemy napisać następujące równości

${\displaystyle {\begin{aligned}&(u^{2}+p+v)^{2}\\=\ &(u^{2}+p)^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}\\=\ &pu^{2}-qu-r+p^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}\\=\ &(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}),\end{aligned}}}$

(3)

czyli

${\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}).}$

(4)

Wybierzmy liczbę ${\displaystyle v}$ tak aby

${\displaystyle (-q)^{2}-4(p+2v)(p^{2}-r+2pv+v^{2})=0.}$

(5)

Aby to uczynić, przekształcamy równanie (5) do

${\displaystyle (q^{2}-4p^{3}+4pr)+(-16p^{2}+8r)v-20pv^{2}-8v^{3}=0,}$

(6)

co jest równaniem stopnia trzeciego (które może być rozwiązane metodami del Ferro i Tartaglii). Lewa strona równania (5) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego ${\displaystyle (p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2})}$ (gdzie zmienną wolną jest ${\displaystyle u}$). Zatem przy naszym wyborze ${\displaystyle v,}$ wyrażenie ${\displaystyle (p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2})}$ jest pełnym kwadratem i równanie (1) zostaje zredukowane do

${\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)(u-{\frac {q}{2(p+2v)}})^{2}.}$

(7)

Powyższe równanie redukujemy już łatwo do równania kwadratowego.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• John J. O'Connor; Edmund F. Robertson: Lodovico Ferrari w MacTutor History of Mathematics archive (ang.)
• Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive