Krzywa drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopnia – krzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne ${\displaystyle x,\ y,{:}}$

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

gdzie:

${\displaystyle a_{11},a_{22},a_{12},a_{13},a_{23},a_{33}\in \mathbb {R} ,}$

przy czym przynajmniej jeden ze współczynników ${\displaystyle a_{11},a_{22},a_{12}}$ musi być różny od zera.

W zależności od wartości współczynników ${\displaystyle a_{ij}}$ krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.

Niezmienniki

Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki ${\displaystyle a_{ij}}$ zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych. Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:

${\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|}$

${\displaystyle \delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}}$

${\displaystyle S=a_{11}+a_{22}}$

Klasyfikacja krzywych 2 stopnia

W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:

Wartości Δ, δ i S			krzywa	postać kanoniczna	uwagi
Krzywe środkowe δ≠0	δ>0	Δ•S<0	elipsa rzeczywista	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	dla ${\displaystyle a=\pm b}$ elipsa jest okręgiem
		Δ•S>0	elipsa urojona	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$
		Δ=0	para prostych urojonych z jednym punktem rzeczywistym	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$
	δ<0	Δ≠0	hiperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$
		Δ=0	para prostych przecinających się	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$
Krzywe paraboliczne δ=0 S≠0	Δ≠0		parabola	${\displaystyle x^{2}+2py=0}$
	Δ=0	${\displaystyle a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}>0}$	para prostych równoległych	${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$	równoważnie można badać znak wyrażenia ${\displaystyle a_{23}^{2}-a_{22}a_{33}}$
		${\displaystyle a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}=0}$	para prostych pokrywających się	${\displaystyle x^{2}=0}$
		${\displaystyle a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}<0}$	para prostych urojonych	${\displaystyle x^{2}=-a^{2}}$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.
• Marceli Stark: Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1972, s. 177–184.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].