Funkcja modularna Dedekinda

Funkcja modularna eta Dedekinda – funkcja zmiennej zespolonej zdefiniowana na górnej półpłaszczyźnie. Nazwa pochodzi od Richarda Dedekinda.

Zdefiniujmy q = e i 2 π τ . {\displaystyle q=e^{i2\pi \tau }.} Wtedy funkcję Dedekinda definiujemy następująco:

η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) . {\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}

Funkcja eta jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie, nie może być jednak analitycznie przedłużona poza nią.

Funkcja eta spełnia następujące tożsamości:

η ( τ + 1 ) = exp ⁡ ( 2 π i / 24 ) η ( τ ) , {\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp(2\pi i/24)\eta (\tau ),}
η ( − 1 / τ ) = − i τ η ( τ ) . {\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau ).}

Ogólniej,

η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( − i ( c τ + d ) ) 1 / 2 η ( τ ) , {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (\tau ),}

gdzie a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} są liczbami całkowitymi, takimi że: a d − b c = 1 , {\displaystyle ad-bc=1,} oraz:

ϵ ( a , b , c , d ) = exp ⁡ i π ( a + d 12 c + s ( − d , c ) ) , {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right),}

natomiast s ( h , k ) {\displaystyle s(h,k)} jest sumą Dedekinda

s ( h , k ) = ∑ n = 1 k − 1 n k ( h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ) . {\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}

Bibliografia

  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0, See chapter 3.
  • Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2.