Funkcja lokalnie ograniczona

Funkcję nazywa się lokalnie ograniczoną, jeżeli jest ograniczona w otoczeniu każdego punktu dziedziny.

Rodzina funkcji jest lokalnie ograniczona, jeżeli w każdym punkcie dziedziny wszystkie funkcje rodziny są lokalnie ograniczone.

Przykłady

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

jest ograniczona, bo ${\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant 1}$ dla wszystkich ${\displaystyle x.}$ Dlatego jest też lokalnie ograniczona.

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)=2x+3}$

nie jest ograniczona, gdyż rośnie nieograniczenie np. dla ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ Jednak jest lokalnie ograniczona, bo dla wszystkich ${\displaystyle a,|f(x)|\leqslant M}$ w przedziale ${\displaystyle (a-1,\,a+1),}$ gdzie ${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

dla ${\displaystyle x=0}$ nie jest lokalnie ograniczona, bo przyjmuje wartości dowolnie duże w pobliżu zera.

Zobacz też

• funkcja ograniczona

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018.