Biegunowa

Ten artykuł od 2013-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Biegunowa punktu P względem okręgu o o środku O≠P – prosta przechodząca przez obraz punktu P przy inwersji względem o i prostopadła do OP.

Konstrukcja

1. Konstrukcja punktu inwersyjnego do P.
2. Konstrukcja prostej prostopadłej do OP przechodzącej przez ten punkt.

Wzajemność biegunowych

Jeśli punkt A leży na biegunowej B względem o, to B leży na biegunowej A względem o.

Dowód

Spełnione są zależności:

${\displaystyle {\frac {OA}{r}}={\frac {r}{OA'}}}$

${\displaystyle {\frac {OB}{r}}={\frac {r}{OB'}}}$

Dzieląc stronami uzyskujemy:

${\displaystyle {\frac {OA}{OB}}={\frac {OB'}{OA'}}}$

a zatem (ze względu na wspólność kąta AOB) trójkąty OAB' i OBA' są podobne (bok, kąt, bok), więc kąt OB'A jest prosty i odcinek B'A zawiera się w biegunowej B.