En elliptisk partiell differensialligning er en andreordens differensialligning der koeffisientene oppfyller visse krav. Ut fra disse kravene kan man utlede ønskelige egenskaper ved slike ligninger, slik som eksistens av løsning og begrensninger på maksimumsverdier. Elliptiske partielle differensialligninger omfatter en stor klasse av ulike kjente partielle differensialligninger, herunder de gitt ved Laplace-operatoren, som igjen blant annet brukes for å formulere Laplace-ligningen og Poisson-ligningen.
En elliptisk partiell differensialligning formuleres ved hjelp av differensialoperatoren, med gitte koeffisienter. Dersom koeffisientene utgjør indekser i en positiv definitt matrise, regnes ligningen for å være elliptisk. Andre mulige klassifiseringer av partielle differensialligninger er hyperbolsk og parabolsk.
Definisjon
Dersom
er en partiell differensialoperator, gitt på divergensform ved
![{\displaystyle Lu=-\sum _{i,j}^{n}(a^{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b^{i}(x)u_{x_{i}}+c(x)u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414f4864887019c821e8e6506f500b35728478ee)
sier vi at
er elliptisk dersom det eksisterer en konstant
slik at
![{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a^{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta |\xi |^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb55ff4759630b93b84bc10e7096b4a6332782d)
for alle
og for alle
. Her er
er reelle funksjoner fra
, og
en vektor.[1]
Eksempel
La
, og se på Laplace-ligningen gitt ved
![{\displaystyle Lu=-\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5470aaf74940f702224265e1429bd272a0d5f84f)
Her blir
, Kronecker-delta-funksjonen, dvs.
,
og
. Da er
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a^{ij}\xi _{i}\xi _{j}=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}=1|\xi |^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2c97a60204dda3d8bb94abf730748e60e45103)
så betingelsen gitt over holder med
og ligningen er altså elliptisk.
Bilineær form
For en gitt elliptisk differensialoperator
, og et gitt underrom
er den assosierte bilineære formen
gitt ved
![{\displaystyle B[u,v]=\int _{U}\sum _{i,j=1}^{n}a^{ij}u_{x_{i}}v_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b^{i}u_{x_{i}}v+cuvdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee71db1349ca2e21807a4850b3cc59b8a24c697)
for alle
, der
er et Sobolev-rom bestående av alle funksjoner som er én gang deriverbar og null på randen av U.[1]
Dersom man ønsker å løse randverdiproblemet
![{\displaystyle u(x)={\begin{cases}Lu=f&x\in U\\u=0&x\in \partial U\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccb1d48e533891b15a404d2adb270a1fc6f91c0)
for en gitt
og en ukjent
, sier man at
er en svak løsning dersom
![{\displaystyle B[u,v]=(f,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844088bd84da5e5959622533e02be2a54c4bb53)
for alle
, der
betegner indreproduktet i
. Betingelser for eksistens av slike løsninger er gitt ved Lax-Milgrams teorem.[1]
Referanser
- ^ a b c Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. s. 314–317. ISBN 978-0-8218-4974-3.
Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld · LCCN · NKC |
---|