Telmaat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie

Laat ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ een meetbare ruimte zijn met ${\displaystyle \Sigma }$ de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$. De functie ${\displaystyle \mu }$ op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}|A|&{\mbox{voor eindige deelverzamelingen }}A\subset \Omega \\\\\infty &{\mbox{voor oneindige deelverzamelingen }}A\subset \Omega \\\end{cases}}}$

heet de telmaat, en is een maat op ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$.

Daarbij is ${\displaystyle |A|}$ de kardinaliteit van ${\displaystyle A}$, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat maakt het mogelijk veel uitspraken over ${\displaystyle L^{p}}$-ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, om te zetten naar een meer bekende setting. Als ${\displaystyle \Omega =\{1,\ldots ,n\}}$ en ${\displaystyle S=(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ de maatruimte is met telmaat ${\displaystyle \mu }$ op ${\displaystyle \Omega }$, dan is ${\displaystyle L^{p}(S)}$ gelijk aan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$), met een norm gedefinieerd door

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

voor ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Het delen van de telmaat ${\displaystyle \mu }$ door het aantal ${\displaystyle n}$ van elementen in ${\displaystyle \Omega }$ geeft de discrete uniforme verdeling.

Als ${\displaystyle \Omega }$ de verzameling van natuurlijke getallen is en ${\displaystyle S}$ de maatruimte met telmaat op ${\displaystyle \Omega }$, dan bestaat ${\displaystyle L^{p}(S)}$ uit de rijen ${\displaystyle x=(x_{n})}$ waarvoor geldt

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}<\infty }$

Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als ${\displaystyle \ell ^{p}}$.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.