Een conservatief of exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt van een scalair veld is en een scalair veld is een functie
op een meerdimensionale ruimte. De waarden die
aanneemt zijn scalairen en worden de potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt
naar een punt
onafhankelijk is van het gekozen pad van
naar
.
Conservatieve vectorvelden spelen een belangrijke rol in de natuurkunde, onder andere in de vorm van de krachten die werken in een gesloten systeem, waarbij dus de energie behouden blijft. Dit maakt het mogelijk de potentiële energie te definiëren onafhankelijk van het gekozen pad.
Definitie
Een vectorveld
heet conservatief, als er een functie
![{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e501313fd0f09e9d7ad153b8505119a34d5903)
is, zodanig dat:
.
Afhankelijk van de toepassing en de conventie wordt ook wel de relatie
gekozen. De functie
wordt een potentiaal van het veld genoemd en is op een constante term na bepaald. De operator
of nabla is de gradiënt.
Stellingen
- Een conservatief vectorveld
is rotatievrij: ![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b3f3376c71a1e9b8a47cf53b6b1f5f405af4f7)
- Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is het vectorveld in dat gebied conservatief.
- Een lijnintegraal in een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg. Voor elke kromme
van het punt
naar het punt
geldt:
![{\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \varphi =\varphi (B)-\varphi (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b8aa32b8f1b5e0d9fc194d0ea48cffd080c6c8)
- Uit de voorgaande stelling volgt dat een kringintegraal in een enkelvoudig samenhangend gebied van een conservatief vectorveld dat in het beschouwde gebied conservatief is, gelijk is aan 0.
- Noem
de componenten van
. Dan zijn de partiële afgeleiden:
![{\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\ =\ {\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2bfb4ea068b072580d4d15b3194e07daa36522)
Van conservatief vectorveld naar potentiaalfunctie
Gegeven het vectorveld
![{\displaystyle {\overrightarrow {F}}\ =\ [2x+z,z,y-3z^{2}+x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25efab889d4d945c9ec01771cc3122ea11ecee16)
Dit veld is inderdaad conservatief want
,
en ![{\displaystyle \ {\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}={\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624cbdf21dc22d299dbf1853b6566fb699f6daf6)
Er bestaat dus een potentiaalfunctie
waarvan
de gradiënt is. Die kan worden berekend aan de hand van de componenten van
, want dat zijn de partiële afgeleiden van
. Te beginnen bijvoorbeeld met de
-component:
![{\displaystyle \varphi (x,y,z)\ =\ \int F_{x}dx\ =\ x^{2}+xz+\phi (y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcee109434bbc412d7172ed11a9a8fdd7c791ae1)
Bij het integreren van
naar
moet rekening worden gehouden met termen in
, waarin de variabele
niet voorkomt, dus die in de component
niet terugkomen. De functie
kan worden gevonden door te eisen dat de partiele afgeleide van
naar
gelijk is aan
. Dit leidt hier tot:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}\ =\ z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c94a937c6a321da4b24e602d3074ca38f3cb0af)
zodat
![{\displaystyle \phi (y,z)\ =\ yz+\psi (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c3830373b4c1cfbd0186af4fad6c37135071df)
waar
een term van
is die ook niet afhangt van
en waarvan geen spoor in
terug is te vinden. Dus:
![{\displaystyle \varphi (x,y,z)\ =\ x^{2}+xz+yz+\psi (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8b33e684ea95c8b8ff6e693065b56bb2a723e0)
De functie
kan worden gevonden door de partiële afgeleiden van
naar
te differentiëren en gelijk aan
te stellen:
![{\displaystyle x+y+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\ =\ x+y-3z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b878d16c8afacf2bcfc4f18b1468d7a4c16e976e)
zodat
![{\displaystyle \psi (z)=-z^{3}\ +\ C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a07cbad852e2809993c00403cd719390f0016b)
waarin
een willekeurige reële constante is.
Ten slotte:
![{\displaystyle \varphi (x,y,z)\ =\ x^{2}+xz+yz-z^{3}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d383088ad4f89ac9f76d2f021cfcd7a994569332)
Deze rekenmethode kan ook in vectorruimten van meer dimensies worden gebruikt of met twee variabelen wanneer de dimensie twee is.