Prodotto infinito

In matematica si dice prodotto infinito relativo ad una successione di numeri reali o complessi a₁, a₂, a₃, ... l'entità che si denota con

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots }$

e che si definisce come il limite dei prodotti parziali a₁a₂...a_n per n tendente all'infinito. Il prodotto si dice convergente quando esiste un intero m tale che la successione

${\displaystyle \{\prod _{n=m}^{q}a_{n}\}_{q}}$

abbia un limite diverso da 0 e da ±∞. In caso contrario si dice che il prodotto è divergente. In questo modo un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha a_n=0 per un qualche n. Con tale definizione molte delle proprietà delle somme di serie infinite si possono trasformare in analoghe proprietà per i prodotti infiniti.

Se il prodotto infinito converge, allora il limite della successione a_n per n tendente all'infinito deve essere 1, mentre il fatto che la successione tenda a 1 non implica necessariamente che il prodotto infinito converga. Di conseguenza, per una prodotto infinito convergente, esiste m tale che per n≥m si abbia a_n>0. Dunque, per tali valori di n è definito il logaritmo log a_n e si ha

${\displaystyle \log \prod _{n=m}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=m}^{\infty }\log a_{n}}$

con il prodotto a primo membro che converge se e solo se la somma al secondo membro converge. Questa situazione simmetrica consente di tradurre i criteri di convergenza per le somme infinite in criteri di convergenza per i prodotti infiniti.

Per prodotti nei quali per ogni n si ha ${\displaystyle a_{n}\geq 1}$, introducendo i numeri ${\displaystyle p_{n}:=a_{n}-1}$, per i quali deve essere ${\displaystyle p_{n}\geq 0}$, si trovano le disuguaglianze

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

e queste mostrano che il prodotto infinito converge se e solo se converge la serie dei p_n.

Gli esempi più noti di prodotti infiniti sono probabilmente dati da alcune delle formule trovate per π, come le seguenti ottenute, rispettivamente, da François Viète (v. formula di Viète) e John Wallis (v. prodotto di Wallis):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)}$

Prodotti infiniti per il seno:

${\displaystyle \sin x=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sin x=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}$

${\displaystyle \left|\sin x\right|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan(\displaystyle 2^{n}x)\right|}}}$

Prodotto infinito per il coseno:

${\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}$

Il prodotto di Pippenger

${\displaystyle {\frac {e}{2}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2\cdot 4}{3\cdot 3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4\cdot 6\cdot 6\cdot 8}{5\cdot 5\cdot 7\cdot 7}}\right)^{1/8}\cdots }$

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di fattorizzazione di Weierstrass.

Un risultato importante sui prodotti infiniti consiste nel fatto che ogni funzione intera f (cioè ogni funzione olomorfa sull'intero piano complesso) si può fattorizzare come prodotto infinito di funzioni intere ciascuna delle quali presenta al più un singolo zero. In generale, se f presenta uno zero di ordine m nell'origine e possiede altri zeri complessi nei punti u₁, u₂, u₃, ... (elencati con le molteplicità uguali ai loro ordini), allora

${\displaystyle f(z)=z^{m}\;e^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\;\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

dove i λ_n sono interi non negativi che si possono scegliere per rendere il prodotto convergente, e φ(z) è qualche funzione analitica univocamente determinata (il che significa che il fattore che precede il prodotto non presenta zeri nel piano complesso). La precedente fattorizzazione non è unica, in quanto dipende dalla scelta dei λ_n e non è particolarmente elegante. Per gran parte delle funzioni, tuttavia, si trova qualche intero non negativo minimo p tale che λ_n = p fornisce un prodotto convergente; questo viene chiamato la rappresentazione canonica mediante prodotto. Questo p viene chiamato rango del prodotto canonico. Inoltre, se φ(z) è un polinomio, il grado di φ si dice ordine di f. Nel caso che sia p = 0, questo prende la forma

${\displaystyle f(z)=z^{m}\;e^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}$

Questa può essere considerata come una generalizzazione del teorema fondamentale dell'algebra, in quanto per le funzioni polinomiali il prodotto diventa finito e la funzione φ(z) si riduce a una costante. Rappresentazioni di questo tipo sono:

funzione seno	${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$	Eulero - la formula di Wallis per π è un caso particolare di questa.
funzione coseno	${\displaystyle \cos {z}=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right]}$
funzione Gamma	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}$	Oscar Schlömilch.

Un altro esempio di prodotto infinito di funzioni è

funzione zeta di Riemann

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

Prodotto di Eulero - Qui i pn costituiscono la successione dei numeri primi.

Si osservi che questa rappresentazione non è una rappresentazione nella forma di Weierstrass.

• E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of modern analysis (Cambridge University Press, 1915) p. 136
• T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London: McMillan, 1917) p. 107
• E. Picard Traité d'Analyse t. 2 (Paris: Gauthier-Villars, 1893) p. 136

• Wolfram MathWorld - Infinite Product, su mathworld.wolfram.com.
• Università di Bologna - Prodotti infiniti in campo complesso (PDF), su amslaurea.unibo.it.

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