Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Se ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$, allora:

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia ${\displaystyle f}$ il limite inferiore della successione ${\displaystyle f_{n}}$. Per ogni intero ${\displaystyle k}$ si definisca la funzione:

${\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}}$

cioè:

${\displaystyle g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\}}}$

${\displaystyle g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\}}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}}}$

${\displaystyle \dots }$

Allora la successione ${\displaystyle g_{k}}$ è tale che:

${\displaystyle 0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N} }$

Se ${\displaystyle k\leq n}$, allora ${\displaystyle g_{k}\leq f_{n}}$, dunque:

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu }$

quindi:

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Si definisca sullo spazio ${\displaystyle S}$ una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

• Si consideri l'intervallo unitario ${\displaystyle S:=[0,1]}$, e per ogni intero positivo ${\displaystyle n}$ si definisca:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\mbox{per }}x\in (0,1/n)\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}}$

• Sia ${\displaystyle S:={\mathbb {R} }}$ l'insieme dei numeri reali e si definisca:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{n}}&{\mbox{per }}x\in [0,n]\\\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}}$

Queste successioni ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ convergono su ${\displaystyle S}$ puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni ${\displaystyle f_{n}}$ ha integrale uguale a ${\displaystyle 1}$.

Sia ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ esteso definita su uno spazio di misura ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$. Se esiste una funzione non negativa ${\displaystyle g}$, misurabile e con ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$ su ${\displaystyle S}$, tale che ${\displaystyle f_{n}\leq g}$ per ogni n, allora:

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da ${\displaystyle g-f_{n}}$.

Sia ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ una successione di funzioni misurabili a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ esteso definita su uno spazio di misura ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$. Se esiste una funzione non negativa e integrabile ${\displaystyle g}$ su ${\displaystyle S}$ tale che ${\displaystyle f_{n}\geq -g}$ per ogni n, allora:

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da ${\displaystyle g+f_{n}}$.

Se la successione ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ appena presentata converge puntualmente ad una funzione ${\displaystyle f}$ quasi ovunque su ${\displaystyle S}$, allora:

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Infatti, si osservi che ${\displaystyle f}$ ha lo stesso limite inferiore delle ${\displaystyle f_{n}}$ quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

L'ultima affermazione vale anche se la successione ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ converge in misura ad una funzione ${\displaystyle f}$. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }$

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a ${\displaystyle f}$, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a ${\displaystyle f}$ quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ definite su uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )}$, con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ e sia ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ una sotto-σ-algebra. Allora:

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia ${\displaystyle X}$ il limite inferiore di ${\displaystyle X_{n}}$. Per ogni intero ${\displaystyle k}$ si definisca la variabile:

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}}$

Allora la successione ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ è crescente e converge puntualmente a ${\displaystyle X}$. Per ${\displaystyle k\leq n}$, si ha ${\displaystyle Y_{k}\leq Y_{n}}$, e quindi:

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di ${\displaystyle X}$, la sua rappresentazione come limite puntuale di ${\displaystyle Y_{k}}$, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Big [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{matrix}}}$

quasi certamente.

Sia ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ e sia ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

${\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} }}$

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle c>0}$ tale che:

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

quasi certamente, allora:

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}$

soddisfa:

${\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty }$

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Sia ${\displaystyle \varepsilon >0}$. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste ${\displaystyle c>0}$ tale che:

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

quasi certamente. Dato che:

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}}$

dove ${\displaystyle x^{+}:=\max\{x,0\}}$ denota la parte positiva di ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}$

quasi certamente. Dal momento che:

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}}$

si ha:

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$

quasi certamente, e quindi:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$

quasi certamente. Questo prova l'asserto.

• H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Funzione misurabile
• Integrale di Lebesgue
• Limite superiore e limite inferiore
• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Successione di funzioni
• Teorema della convergenza monotona

• (EN) T.P. Lukashenko, Fatou theorem (on Lebesgue integrals), in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Fatou's lemma, in PlanetMath.