Forma di Maurer-Cartan

In matematica, la forma di Maurer–Cartan associata ad ogni gruppo di Lie G {\displaystyle G} è una particolare 1-forma differenziale su G {\displaystyle G} che codifica l'informazione a livello infinitesimo circa la struttura del gruppo G {\displaystyle G} . Fu usata dal matematico Élie Cartan come ingrediente fondamentale del suo metodo dei riferimenti mobili e porta il suo nome accanto a quello di Ludwig Maurer.

Definizione

Sia G {\displaystyle G} un gruppo di Lie, g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} la sua algebra di Lie.

Ogni elemento g ∈ G {\displaystyle g\in G} induce la seguente moltiplicazione (che risulta essere un diffeomorfismo)

L g − 1 : G → G {\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}
L g − 1 ( h ) := g − 1 h {\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}

e la mappa tangente (detta anche differenziale)

( T L g − 1 ) g : T g G → T e G = g {\displaystyle (TL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}} .

La 1-forma di Maurer-Cartan ω ∈ Ω 1 ( G , g ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})} è definita da:

ω ( v ) := ( T L g − 1 ) g ( v ) , {\displaystyle \omega (v):=(TL_{g^{-1}})_{g}(v)\,,}

per ogni vettore tangente v ∈ T g G , g ∈ G {\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G} [1].

Note

  1. ^ Jeffrey M. Lee, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form, in Manifolds and differential geometry, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2009, ISBN 0-8218-4815-1.

Bibliografia

  • (EN) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Lie groups and Lie algebras, Springer, ISBN 3-540-50218-1.

Voci correlate

  • Gruppo di Lie
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