In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.
Definizione
La derivata esterna di una forma differenziale di grado
è una forma differenziale di grado
.
Derivata esterna di una funzione
Sia
una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di
è il differenziale
di
, ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale
si abbia
, dove
è la derivata direzionale di
in direzione
.[1]
La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:
è il differenziale di
per
funzione liscia.
per ogni funzione liscia
.
, con
una p-forma.
La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché
per ogni k-forma
, mentre la terza implica, come caso particolare, che se
è una funzione e
una k-forma allora
poiché le funzioni sono forme di grado zero.
Derivata esterna in coordinate locali
In un sistema di coordinate locale
si considerino i differenziali
, che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici
, con
e
, la derivata esterna di una k-forma:
![{\displaystyle \omega =f_{I}{\text{d}}x^{I}=f_{i_{1},i_{2}\cdots i_{k}}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge {\text{d}}x^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b4b8a461922140e805322f8fb04579687c3091)
su
è definita nel modo seguente:[1]
![{\displaystyle {\text{d}}{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6422c527a0d05e28fc2d8af073e0ecd1802b8f8b)
Per una generica k-forma:
![{\displaystyle \omega =\sum _{I}f_{I}dx_{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10858baf6991825bd7266b1d5a8fb4e383d3f956)
con
, la definizione è estesa per linearità.
La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:
![{\displaystyle \omega =f_{I}{\text{d}}x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b25d49b4b54f27e5c8cc8f8f54f9feed38da27)
allora si ha:
![{\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge ({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})+f_{I}{\text{d}}({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758b15795cccb9b831a0bdf277c83ce9ed3b2465)
![{\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}+\sum _{p=1}^{k}(-1)^{(p-1)}f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{p-1}}\wedge {\text{d}}^{2}x^{i_{p}}\wedge {\text{d}}x^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7dc371f6d2536bd1451612d0577a5b6520016d)
![{\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da56e761937095ed6f09d08567097344b17212f)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26287ad00feb01e91ac36c4e6fb0fcd8d5d77ee)
dove
è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.
Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma
quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci
:
![{\displaystyle {\text{d}}\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\left(\omega (V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5838b434b5680919db8f8e2968dd015b13c134)
![{\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e66744d8bf9e6408f4d2773eebed4b0d80a713d)
dove
sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:
![{\displaystyle \omega (V_{1},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a199d7fc0c11d2b5c5c36bd1c5433a4a952f4be1)
In particolare, per 1-forme si ha:
![{\displaystyle d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2cc9cd78c02146f4beb99aabeb49087a4d1367)
dove
e
sono campi vettoriali.
La derivata esterna nel calcolo vettoriale
Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.
Gradiente
Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente. Una funzione liscia
è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:
![{\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\cdot \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b4bbb844ff59676dcec519ff42079f95e3dfc4)
In altre parole, la forma
agisce su ogni campo vettoriale
restituendo in ogni punto il prodotto scalare di
con il gradiente
. La 1-forma
è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di
nello spazio cotangente ad ogni punto.
Divergenza
Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza. Un campo vettoriale
su
possiede una corrispondente (n-1)-forma:
![{\displaystyle \omega _{V}=v_{1}\;(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9187b4e535a82b6d3eadd83f7d00d7d70054c36)
![{\displaystyle =\sum _{p=1}^{n}{(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4885dc0c38c662949c90dd48455f4cefc6c086be)
dove
denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di
su un'ipersuperficie è il flusso di
attraverso tale ipersuperficie.
La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:
![{\displaystyle \mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c08918e4ae4fa57571d25f7e1e71234253acf8)
Rotore
Lo stesso argomento in dettaglio: Rotore (matematica). Un campo vettoriale
su
possiede una corrispondente 1-forma:
![{\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\;\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\;\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\;\mathrm {d} x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9651be7f91325a1c609a37d4048fbef7d34ecbbb)
Localmente,
è il prodotto interno con
, e l'integrale di
lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro"
lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di
è la 2-forma:
![{\displaystyle \mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {rot} (V)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37f17c1be44054eafafd9097235e323e3a30139)
Note
- ^ a b Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, su mathworld.wolfram.com, 2012.
Bibliografia
- Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
- Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
- Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
- Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Derivata esterna, su MathWorld, Wolfram Research.
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