Controesempio

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In logica, e più in generale in matematica un controesempio è un fatto particolare che dimostra che una certa congettura generale è falsa.

Costruire esplicitamente un controesempio è il metodo più naturale ed efficace per confutare dei teoremi. Ad esempio, consideriamo l'affermazione seguente: "tutti i gatti sono neri". Questa affermazione è indubbiamente falsa, ma come facciamo a dimostrarlo? Semplicemente, mostrando al mondo l'esistenza di un gatto di un altro colore.

Questo esempio, a prima vista banale, si estende in tutti gli ambiti della matematica, a vari livelli. Per esempio, molte congetture famose sono asserzioni che valgono in una certa generalità: ad esempio la congettura di Fermat (dimostrata da Andrew Wiles nel 1995) sostiene che:

non esistono soluzioni intere positive all'equazione: $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ per $n>2$ .

Un controesempio per questa congettura sarebbe una terna di numeri $a$ , $b$ e $c$ , e un altro intero $n>2$ che soddisfino questa relazione.

I matematici che si trovano di fronte una congettura, o più generalmente un problema di cui non sanno la soluzione, hanno generalmente davanti a sé due strade percorribili: tentare di dimostrarla, o cercare un controesempio (e in questo caso l'utilizzo intensivo di computer può essere di grande aiuto). Addirittura per alcuni matematici (i cosiddetti intuizionisti), un controesempio è l'unico modo per poter dimostrare la falsità di un teorema dove le configurazioni possibili da verificare sono infinite.

Esempio

Proviamo, per esempio, a dimostrare che:

per ogni numero reale positivo vale $2^{n}+n^{3}\geq n^{n}$

è falsa. Con $n=1$ la proposizione è vera, ma, se proviamo con un altro numero, come $n=10$ , si ottiene:

2^{10}+10^{3}\geq 10^{10}\ \ \Rightarrow \ \ 2024\geq 10000000000

che è evidentemente falso. Il controesempio ci dice che il teorema, in generale (cioè estendendo il concetto a tutto l'insieme), non vale per tutti i numeri reali positivi.