Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse (dinamai dari matematikawan Otto Hesse) adalah persamaan yang digunakan dalam bidang geometri analitis. Persamaan ini mendeskripsikan garis di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ atau bidang di ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ atau bidang di dimensi yang lebih tinggi.^[1] Persamaan ini biasanya digunakan untuk menghitung jarak.

Persamaan ini ditulis dengan notasi vektor sebagai berikut:

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

Titik ${\displaystyle \cdot }$ merupakan produk skalar atau produk titik. Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ melambangkan vektor normal satuan E atau g, yang mengarah dari titik awal ke bidangnya. Jarak ${\displaystyle d\geq 0}$ adalah jarak dari titik awal ke bidangnya.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik P yang dideskripsikan oleh vektor lokasi ${\displaystyle {\vec {r}}}$, yang terletak di bidang E.

Derivasi/perhitungan dari bentuk normal

Dalam bentuk normal:

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

suatu bidang ditetapkan oleh vektor normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$ dan juga posisi sembarang vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ dan titik ${\displaystyle A\in E}$. Arah ${\displaystyle {\vec {n}}}$ dipilih untuk memenuhi pertidaksamaan berikut:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Dengan membagi vektor normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$ dengan ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$, vektor satuan normal dapat diperoleh:

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

dan persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi:

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

Berdasarkan rumus berikut

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

bentuk normal Hesse dapat diperoleh

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

Catatan kaki