Grup divisibel

Dalam matematika, terutama di bidang teori grup, grup divisibel atau disebut juga grup yang dapat dibagi adalah grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan n untuk setiap bilangan bulat positif n. Grup terpisahkan penting dalam memahami struktur grup abelian, terutama karena mereka adalah grup abelian injektif.

Definisi

Grup abelian ${\displaystyle (G,+)}$ adalah divisibel jika, untuk setiap bilangan bulat positif ${\displaystyle n}$ dan setiap ${\displaystyle g\in G}$, disana terdapat ${\displaystyle y\in G}$ adalah ${\displaystyle ny=g}$.^[1] Kondisi yang setara adalah: untuk bilangan bulat positif ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle nG=G}$, karena keberadaan ${\displaystyle y}$ untuk setiap ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle g}$ menyiratkan bahwa ${\displaystyle nG\supseteq G}$, dan ke arah lain ${\displaystyle nG\subseteq G}$ benar untuk setiap kelompok. Kondisi ketiga yang setara adalah bahwa grup abelian ${\displaystyle G}$ dapat dibagi jika dan hanya jika ${\displaystyle G}$ adalah objek injeksi dalam kategori grup abelian]; untuk alasan ini, grup yang dapat dibagi kadang-kadang disebut grup injektif.

Grup abelian adalah ${\displaystyle p}$-habis dibagi untuk bilangan prima ${\displaystyle p}$ jika untuk ${\displaystyle g\in G}$, terdapat ${\displaystyle y\in G}$ sehingga ${\displaystyle py=g}$. Sama halnya, grup abelian adalah ${\displaystyle p}$-habis dibagi jika dan hanya jika ${\displaystyle pG=G}$.

Contoh

• Bilangan rasional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ membentuk kelompok yang dapat dibagi di bawah penambahan.
• Lebih umum lagi, grup aditif yang mendasari dari setiap ruang vektor di atas habis dibagi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Setiap hasil bagi dari grup yang dapat dibagi habis. Jadi, habis dibagi ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.
• Kompenen prima-p ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ pada ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, yang mana isomorfik ke p -grup kuasiklik habis dibagi ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$.
• Grup perkalian dari bilangan kompleks ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ is divisible.
• Setiap grup abelian eksistensial tertutup (dalam pengertian teori model) dapat dibagi.

Sifat

• Jika grup yang dapat dibagi adalah subkelompok dari grup abelian maka itu adalah penjumlahan langsung dari grup abelian itu.^[2]
• Setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi.^[3]
• Grup yang dapat dibagi non-sepele bukan dihasilkan secara terbatas.
• Selanjutnya, setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi sebagai subgrup penting dengan cara yang unik.^[4]
• Sebuah grup abelian habis dibagi jika dan hanya jika itu adalah habis dibagi- p untuk setiap prima p .
• Misalkan ${\displaystyle A}$ menjadi gelanggang. Jika ${\displaystyle T}$ adalah grup yang dapat dibagi, maka ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$ adalah injektif dalam kategori dari modul${\displaystyle A}$.^[5]

Teorema struktur grup habis

Karena G menjadi grup yang dapat dibagi. Kemudian subgrup torsi Tor(G) dari G habis dibagi. Karena grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi.

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

Sebagai hasil bagi dari grup yang dapat dibagi, G/Tor(G) habis dibagi. Selain itu, ini bebas torsi. Jadi, ini adalah ruang vektor di atas Q dan ada himpunan I sehingga

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Struktur subgrup torsi lebih sulit ditentukan, tetapi dapat dilihat^[6][7] bahwa untuk semua bilangan prima p ada ${\displaystyle I_{p}}$ sedemikian rupa sehingga

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

dimana ${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$ adalah komponen utama Tor(G).

Jadi, jika P adalah himpunan bilangan prima,

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Kardinalitas dari himpunan I dan I_p untuk p ∈ 'P' secara unik ditentukan oleh grup G .

Amplop injektif

Seperti yang dinyatakan di atas, setiap grup abelian A dapat disematkan secara unik dalam grup yang dapat dibagi D sebagai subgrup penting. Grup yang dapat dibagi D ini adalah amplop injektif dari A , dan konsep ini adalah injeksi hull dalam kategori grup abelian.

Lihat pula

• Objek injektif
• Modul injektif

Catatan

Referensi

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological algebra, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, MR 1731415  With an appendix by David A. Buchsbaum; Reprint of the 1956 original
• Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible is injective", Soochow J. Math., 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255, MR 2238765 
• Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7. 
• Hall, Marshall, jr (1959). The theory of groups. New York: Macmillan.  Chapter 13.3.
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press. 
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press. 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Serge Lang (1984). Algebra, Second Edition. Menlo Park, California: Addison-Wesley. 
• Matlis, Eben (1958). "Injective modules over Noetherian rings". Pacific Journal of Mathematics. 8: 511–528. doi:10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730. MR 0099360. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-19. 
• Nicholson, W. K.; Yousif, M. F. (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Tracts in Mathematics, 158, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. xviii+307, doi:10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, MR 2003785