Toroid koordináta-rendszer

A toroid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. Ezzel a két fókusz, ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ egy ${\displaystyle a}$ sugarú gyűrűvé alakul az ${\displaystyle xy}$ síkban, melyre merőleges a forgatás z tengelye.

Definíció

A ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,\phi )}$ toroid koordináták leggyakoribb definíciója:

${\displaystyle x=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

és ${\displaystyle \mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z}$). Egy ${\displaystyle P}$ pont ${\displaystyle \sigma }$ koordinátája megegyezik az ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ szöggel, és a ${\displaystyle \tau }$ koordináta a fókuszgyűrű két oldalától mért ${\displaystyle d_{1}}$ és ${\displaystyle d_{2}}$ távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

A koordináták nagysága: ${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$ és ${\displaystyle \tau \geq 0}$ és ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi .}$

Inverz transzformáció

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ koordináták a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordintákból:

a ${\displaystyle \phi }$ azimut:

${\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {y}{x}}}$

a ${\displaystyle \rho }$ hengersugár:

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

és a ${\displaystyle \phi }$ által definiált síkban a távolságok:

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

A ${\displaystyle \tau }$ koordináta megegyezik a fókuszoktól mért távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

ahol ${\displaystyle |\sigma |}$ a fókuszoktól mért sugarak szögével, és a koszinusztétellel számítható:

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

Vagy explicit, előjellel együtt:

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

ahol ${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$.

Skálázási tényezők

A ${\displaystyle \sigma }$ és a ${\displaystyle \tau }$ slkálázási tényezői egyenlőek:

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

és az azimut skálázási tényezője:

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

Így az infinitezimális térfogatelem:

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\operatorname {sh} \tau }{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

Differenciáloperátorok

A Laplace-operátor: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\operatorname {sh} \tau }}&\left[\operatorname {sh} \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\operatorname {sh} \tau \left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

Egy $${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$ vektormező esetén a vektor Laplace-operátor:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\operatorname {sh} ^{4}\tau +(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\operatorname {sh} \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\operatorname {sh} \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\operatorname {ch} ^{2}\tau +1-2\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\operatorname {sh} ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\operatorname {sh} \tau (\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\operatorname {sh} \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )(1-\operatorname {ch} \tau \cos \sigma )}{\operatorname {sh} \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Harmonikus függvények

Standard szétválasztás

A háromváltozós ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$ Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával a toroid koordináta-trendszerben. Ha elvégezzük az ${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$ helyettesítést, akkor szétválasztható egyenletet kapunk. Egy partikuláris megoldás:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\operatorname {ch} \tau )\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\operatorname {ch} \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

ahol P és Q első- és másodfajú asszociált Legendre-függvények. Ezekre a Legendre-függvényekre gyakran hivatkoznak úgy, mint Legedre-harmonikusokra.

A toroid harmonikusoknak több érdekes tulajdonságuk van. Elvégezve a ${\displaystyle z=\operatorname {ch} \tau >1}$ helyettesítést, akkor például a ${\displaystyle \mu =0}$ eltűnési renddel és a ${\displaystyle \nu =0}$ esetben:

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

és

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

ahol ${\displaystyle \,\!K}$ és ${\displaystyle \,\!E}$ rendre első- és másodfajú elliptikus integrálok. A többi toroid harmonikus kifejezhető teljes elliptikus integrálokkal.

Egy klasszikus alkalmazás a differenciálegyenletek megoldása, köztük Laplace egyenletéé, ami szétválasztható a toroid koordináta-rendszerben. A Helmholtz-egyenlet ezzel szemben nem választható szét a toroid koordináta-rendszerben. Tipikus példák egy vezető gyűrű vagy elfajult esetben egy vezető kör elektromos mezeje és potenciálja.

Alternatív szétválasztás

Egy alternatív helyettesítés: (Andrews 2006)

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

ahol

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}.}$

Ezzel ismét egy szétválasztható egyenlethez jutunk. A változók szétválasztásával:

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\operatorname {cth} \tau )\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\operatorname {cth} \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {,} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

Habár itt ugyanazok a harmonikus függvények jelennek meg, most az argumentum ${\displaystyle \operatorname {cth} \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {ch} \tau }$ helyett, és ${\displaystyle \mu }$ és ${\displaystyle \nu }$ indexei megcserélődtek. Ez hasznos, hogyha a peremfeltételek függetlenek a ${\displaystyle \theta }$ szférikus szögtól, például egy töltött gyűrű, két párhuzamos sík vagy egy végtelen félsík. A hiperbolikus koszinuszt vagy hiperbolikus kotangenst argumentumában tartalmazó toroid harmonikusokhoz kapcsolódó azonosságokat a Whipple-képletek tartalmazzák.

Források

• Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 112–115. o. (1970) 
• Andrews, Mark (2006). „Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics”. Journal of Electrostatics 64 (10), 664–672. o. DOI:10.1016/j.elstat.2005.11.005.  
• Hulme, A. (1982). „A note on the magnetic scalar potential of an electric current-ring”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 92 (1), 183–191. o. DOI:10.1017/S0305004100059831.  
• Morse P M, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw–Hill, 666. o. (1953) 
• Korn G A, Korn T M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o. (1961) 
• Margenau H, Murphy G M. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 190–192. o. (1956) 
• Moon P H, Spencer D E. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed., 3rd revised printing, New York: Springer Verlag, 112–115 (Section IV, E4Ry). o. (1988). ISBN 978-0-387-02732-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Toroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.