Funkcionál

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció

${\displaystyle F\,}$ pontosan akkor funkcionál, ha létezik ${\displaystyle V\,\,\mathbb {K} }$ feletti vektortér, hogy ${\displaystyle F\in \mathbb {K} ^{V}}$, ahol ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R,\,C} \}}$. ${\displaystyle F\,}$ funkcionál akkor lineáris, ha bármely ${\displaystyle V\ni x,y}$-ra és ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$-ra ${\displaystyle F(x+y)=F(x)+F(y)\,}$, és ${\displaystyle F(\lambda x)=\lambda F(x)\,}$.

Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.

Példák

Határozott integrál

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Algebrai duális

Legyen ${\displaystyle V\,}$ vektortér ${\displaystyle \mathbb {K} }$ felett.${\displaystyle V\,}$ algebrai duálisa, ${\displaystyle V^{*}\,}$, a ${\displaystyle V\,}$-ből ${\displaystyle \mathbb {K} }$-ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor

${\displaystyle V^{*}=\{f:V\rightarrow \mathbb {K} ;\,y\mapsto \langle x,y\rangle \,|\,\forall x\in V\}\,}$, ahol ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ euklideszi skalárszorzás,

ugyanis ${\displaystyle \Phi :V\rightarrow V^{*};\,x\mapsto (y\mapsto \langle x,y\rangle )\,}$ izomorfia ${\displaystyle V\,}$ és ${\displaystyle V^{*}\,}$ között.

Források

Kolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!