Théorème de Fatou

Ne pas confondre avec le théorème de Fatou-Lebesgue (théorème de convergence dominée) ni avec le lemme de Fatou en théorie de l'intégration.

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En mathématiques, le théorème de Fatou est un résultat d'analyse complexe dû au mathématicien français Pierre Fatou (1878 – 1929), qui énonce l'existence d'au moins un point fixe complexe pour toute composée d'une fonction entière (hors translation) avec elle-même.

Énoncé

Soit f une fonction entière, c'est-à-dire une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. Si f n'est pas une translation, autrement dit si elle ne s'écrit pas sous la forme f(z)=z+c avec c constante, alors la composée f ∘ f admet au moins un point fixe : il existe un nombre complexe z₀ tel que f(f(z₀))=z₀.

Ce résultat n'a pas d'équivalent pour les fonctions d'une variable réelle, même développables en série entière. En effet, la fonction exponentielle réelle n'est pas une translation et sa composée avec elle-même est sans point fixe sur la droite réelle.