Tenseur d'Einstein

Représentation de la déformation du champ gravitationnel par la présence d'une masse importante.

En géométrie différentielle, le tenseur d'Einstein — ainsi nommé en l'honneur d'Albert Einstein — est utilisé pour exprimer la courbure d'une variété pseudo-riemannienne.

En relativité générale, il apparaît dans l'équation du champ d'Einstein, pour décrire comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de matière.

Histoire

L'éponyme du tenseur d'Einstein[1],[2],[3],[N 1] est le physicien Albert Einstein (-)[5] qui l'a construit[6] au cours de l'élaboration de la relativité générale. L'historien des sciences néerlandais Jeroen van Dongen présente le tenseur comme la réponse d'Einstein à la question de savoir :

« Quelle est l'expression appropriée de ?μν — formée à partir de la métrique et de ses dérivés, premières et secondes — qui entre dans une équation du champ de forme :

?μν = κTμν,

avec, au membre de droite, le tenseur énergie-impulsion Tμν de la matière comme terme source ? »[7]

Le tenseur d'Einstein étant un tenseur de courbure, il est aussi connu comme le tenseur de courbure d'Einstein[8],[9],[N 2] ; et, Einstein l'ayant construit avec le tenseur (de courbure) de Ricci, il est aussi connu comme le tenseur (de courbure) de Ricci-Einstein[10],[N 3].

Notations

À la suite d'Einstein[12], le tenseur est usuellement noté G {\displaystyle G} [13]. Mais, comme il n'existe pas de notation normalisée, les notations D, E[14] ou S {\displaystyle S} [15],[16] peuvent se rencontrer[17].

Formule du tenseur d’Einstein en deux dimensions

Le tenseur d'Einstein est un tenseur d’ordre 2, ce qui schématiquement signifie que l’on peut le représenter sous forme d’une matrice, qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de l’espace-temps dans lequel nous vivons. Il se déduit du tenseur de Ricci par la formule

G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}

G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} étant le tenseur d’Einstein, R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} le tenseur de Ricci, g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} la métrique riemannienne de l’espace-temps, et R la courbure scalaire, c’est-à-dire la trace du tenseur de Ricci. En deux dimensions, il s'écrit :

G x x = R x x − 1 2 g x x R {\displaystyle \left.G_{xx}=R_{xx}-{\frac {1}{2}}g_{xx}R\right.}

ou

G y y = R y y − 1 2 g y y R {\displaystyle \left.G_{yy}=R_{yy}-{\frac {1}{2}}g_{yy}R\right.}

Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a :

R x x = g x x R x x x x + g y y R x y x y = g y y R x y x y = 0 + 1 g y y R x y x y {\displaystyle \left.R_{xx}=g^{xx}R_{xxxx}+g^{yy}R_{xyxy}=g^{yy}R_{xyxy}=0+{\frac {1}{g_{yy}}}R_{xyxy}\right.}
R = g m n R m n = g x x R x x + g y y R y y = 1 g x x R x x + 1 g y y R y y = 2 g x x g y y R x y x y {\displaystyle R=g^{mn}R_{mn}=g^{xx}R_{xx}+g^{yy}R_{yy}={\frac {1}{g_{xx}}}R_{xx}+{\frac {1}{g_{yy}}}R_{yy}={\frac {2}{g_{xx}g_{yy}}}R_{xyxy}}
G x x = 1 g y y R x y x y − 1 2 g x x 2 g x x g y y R x y x y = 0 {\displaystyle G_{xx}={\frac {1}{g_{yy}}}R_{xyxy}-{\frac {1}{2}}g_{xx}{\frac {2}{g_{xx}g_{yy}}}R_{xyxy}=0}

On aurait de même G y y = 0 {\displaystyle G_{yy}=0} . Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann, ce qu'on vérifie sur la sphère[18].

Propriété fondamentale

Les principales propriétés du tenseur d'Einstein sont les suivantes :

  • Il s'annule lorsque l'espace-temps est plat[19] ;
  • Il est construit à partir du tenseur de Riemann et du tenseur métrique[19] ;
  • Il se distingue des autres tenseurs ainsi construits par les propriétés suivantes :
    • Il est linéaire en Riemann[19] ;
    • Il est symétrique[19] et de rang 2[19] ;
    • Il est de divergence nulle[19].

Le tenseur de Ricci se déduit d’un autre tenseur, le tenseur de Riemann. Celui-ci obéit à un certain nombre de propriétés dont l’une est appelée identité de Bianchi. Celle-ci, transposée à la définition du tenseur d’Einstein, implique qu’il est de divergence nulle :

D μ G μ ν = 0 {\displaystyle D_{\mu }G^{\mu \nu }=0} ,

où D est la dérivée covariante, sorte de généralisation du concept usuel de dérivée au cas où l’espace temps est courbé par la présence de matière, et où les composantes dites covariantes G μ ν {\displaystyle G^{\mu \nu }} se déduisent de celles dites contravariantes de G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} par la formule G μ ν = g μ α g ν β G α β {\displaystyle G^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }G_{\alpha \beta }}

Trace

La trace du tenseur d'Einstein G μ μ {\displaystyle G_{\mu }^{\mu }} est reliée à la courbure scalaire R {\displaystyle R} (elle-même trace du tenseur de Ricci) par[20] :

G μ μ = 2 − n 2 R {\displaystyle G_{\mu }^{\mu }={\frac {2-n}{2}}R} ,

où n {\displaystyle n} est le nombre de dimensions de la variété pseudo-riemannienne[21].

En relativité générale, n = 4 {\displaystyle n=4} et G μ μ = − R {\displaystyle G_{\mu }^{\mu }=-R} [21].

Composantes

Le nombre des composantes indépendantes du tenseur d'Einstein est donné par[22] :

1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}n\left(n+1\right)} ,

où n > 2 {\displaystyle n>2} est le nombre de dimensions de la variété pseudo-riemannienne.

Dimension

Les composantes du tenseur d'Einstein sont homogènes à l'inverse d'une surface[23]. Ainsi, leur dimension est celle l'inverse du carré d'une longueur[24] :

d i m ( G ) = L − 2 {\displaystyle \mathrm {dim} (G)={\mathsf {L}}^{-2}} .

Nullité

Le tenseur d'Einstein est identiquement nul en une dimension[22] comme en deux dimensions[22].

Importance en relativité générale

Le tenseur d’Einstein est le seul tenseur d’ordre deux faisant intervenir la métrique et ses dérivées jusqu'à l’ordre deux qui soit de divergence nulle. C'est donc le candidat idéal pour faire partie des équations d'Einstein, qui relient la géométrie de l’espace-temps (en fait le tenseur d’Einstein) à la distribution de matière, décrite par le tenseur énergie-impulsion T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} .

En l'absence de constante cosmologique, le tenseur d'Einstein est proportionnel au tenseur énergie-impulsion[1],[25] :

G μ ν ∝ T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }\propto T_{\mu \nu }} ,

et l'équation d'Einstein s'écrit ainsi[N 4] :

G μ ν = κ T μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }} ,

la constante de proportionnalité κ, appelée constante d'Einstein, est ajustée de façon que les équations d’Einstein deviennent équivalente aux lois de la gravitation universelle reliant le potentiel gravitationnel Φ à la masse volumique µ au même point selon la loi dite de Poisson Δ Φ = 4 π G μ {\displaystyle \Delta \Phi =4\pi G\mu } , G étant la constante de Newton et Δ {\displaystyle \Delta } le laplacien.

En d'autres termes, la partie gauche de la formule décrit la courbure (la géométrie) de l'espace-temps, la partie droite décrit le contenu de l'espace-temps.

Notes et références

Notes

  1. ↑ En anglais : Einstein tensor[4].
  2. ↑ En anglais : Einstein curvature tensor.
  3. ↑ En anglais : Ricci-Einstein (curvature) tensor[4],[11].
  4. ↑ Avec c = 1 : Gμν = κTμν = 8πGTμν.

Références

  1. ↑ a et b Barrau et Grain 2016, chap. 5, sect. 5.3, p. 84.
  2. ↑ Heyvaerts 2012, chap. 8, sect. 8.7, § 8.7.3, p. 175.
  3. ↑ Lachièze-Rey 2013, chap. 3, sect. 3.1, § 3.1.1, p. 51.
  4. ↑ a et b Müller-Kirsten 2008, chap. 15, § 15.1, p. 471.
  5. ↑ Dongen 2010, chap. 1er, sect. 1.1, § 1.1.2, p. 12.
  6. ↑ Barrau et Grain 2016, chap. 5, sect. 5.3, p. 83.
  7. ↑ Dongen 2010, chap. 1er, sect. 1.1, § 1.1.2, p. 11.
  8. ↑ Collion 2019, chap. 4, § 4.5, p. 104.
  9. ↑ Petitot 1997, p. 378.
  10. ↑ Leite Lopes 1986, chap. 7, § 7.2, p. 89 et 91-92.
  11. ↑ Cohen-Tannoudji 2009, sect. 4, § 4.2.
  12. ↑ Einstein 1915, p. 844 (éq. 1) et p. 845 (éq. 2 et 2a).
  13. ↑ Choquet-Bruhat 2014, partie A, chap. Ier, sec. I.9, § I.9.1, p. 21, n. 18.
  14. ↑ Zee 2013, liv. 2, part. VI, chap. VI.5, § [1], p. 388 (2).
  15. ↑ Choquet-Bruhat 2014, partie A, chap. Ier, sec. I.9, § I.9.1, p. 21 (I.9.5).
  16. ↑ Choquet-Bruhat 2014, part. A, chap. IV, sect. IV.2, § IV.2.1, p. 62.
  17. ↑ Damour 2012, chap. 3, n. 20.
  18. ↑ Kenyon, I.R., General relativity, Oxford University Press, 1990
  19. ↑ a b c d e et f Misner, Thorne et Wheeler 1973, p. 410.
  20. ↑ Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011, § 3.7.6.2, p. 265 (3.205).
  21. ↑ a et b Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011, § 3.7.6.2, p. 265.
  22. ↑ a b et c Hamber 2008, chap. 1er, sec. 1.6, p. 21.
  23. ↑ Pérez et Anterrieu 2016, chap. 10, sec. II, § II.8, p. 249.
  24. ↑ Baaquie et Willeboordse 2015, chap. 4, remarque 4.2, p. 82.
  25. ↑ Grøn et Hervik 2007, chap. 8, § 8.1, p. 180 (8.2).

Voir aussi

Bibliographie

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  • [Baaquie et Willeboordse 2015] (en) Belal E. Baaquie et Frederick H. Willeboordse, Exploring the invisible universe : from black holes to superstrings [« Explorer l'univers invisible : des trous noirs aux supercordes »], Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, hors coll., , 1re éd., XVI-471 p., 17 × 24,4 cm (ISBN 978-981-4618-67-0 et 978-981-3220-63-8, EAN 9789814618670, OCLC 952062655, BNF 45000558, DOI 10.1142/9265, Bibcode 2015eiub.book.....B, SUDOC 193960893, présentation en ligne, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
  • [Barrau et Grain 2016] A. Barrau et J. Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Physique », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., VIII-231, 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Choquet-Bruhat 2014] (en) Yvonne Choquet-Bruhat (préf. Thibault Damour), Introduction to general relativity, black holes, and cosmology [« Introduction à la relativité générale, aux trous noirs, et à la cosmologie »], Oxford, OUP, hors coll., , 1re éd., XX-279 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-966645-4 et 978-0-19-966646-1, EAN 9780199666454, OCLC 907120831, BNF 44283477, SUDOC 184906695, présentation en ligne, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
  • [Cohen-Tannoudji 2009] (en) G. Cohen-Tannoudji, « Universal constants, standard models and fundamental metrology » [« Constantes universelles, modèles standards et métrologie fondamentale »], Eur. Phys. J. Spec. Top., vol. 172, no 1 : « Quantum metrology and fundamental constants »,‎ , art. no 1, p. 5-24 (DOI 10.1140/epjst/e2009-01038-2, Bibcode 2009EPJST.172....5C, arXiv 0905.0975).
  • [Collion 2019] S. Collion, Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps : trous noirs, big-bang, singularités, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à... » (no 10), , 1re éd., 1 vol., VIII-200, ill., 24 cm (ISBN 978-2-7598-2279-9, EAN 9782759822799, OCLC 1085244403, BNF 45568170, SUDOC 233873899, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Damour 2012] Th. Damour, Si Einstein m'était conté : de la relativité à la théorie des cordes, Paris, Le Cherche midi, coll. « Documents », (réimpr. , mise à jour), 1re éd., 1 vol., 236, ill. et portr. 24 cm (ISBN 978-2-7491-0390-7, EAN 9782749103907, OCLC 300277328, BNF 39954359, Bibcode 2012semc.book.....D, SUDOC 087368374, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Dongen 2010] (en) J. van Dongen, Einstein's unification [« L'unification d'Einstein »], Cambridge, CUP, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., 1 vol., X-213, ill., 26 cm (ISBN 978-0-521-88346-7 et 978-1-108-70303-1, EAN 9780521883467, OCLC 758848172, BNF 42209528, DOI 10.1017/CBO9780511781377, SUDOC 152524703, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Einstein 2015] (de) Albert Einstein, « Die Feldgleichungen der Gravitation » [« Les équations du champ de la gravitation »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,‎ , séance du , p. 844-847 (Bibcode 1915SPAW.......844E, lire en ligne [PDF], consulté le ).
  • [Grøn et Hervik 2007] (en) Ø. Grøn et S. Hervik, Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology [« La théorie de la relativité général d'Einstein : avec des applications modernes en cosmologie »], New York, Springer, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XX-538, ill., 24 cm (ISBN 978-0-387-69199-2 et 978-0-387-69200-5, EAN 9780387691992, OCLC 77540741, DOI 10.1007/978-0-387-69200-5, Bibcode 2007egtr.book.....G, SUDOC 124591477, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Halpern 2016] P. Halpern (trad. de l'angl. amér. par B. Clenet, préf. de M. Lachièze-Rey), Le dé d'Einstein et le chat de Schrödinger : quand deux génies s'affrontent [« Einstein's dice and Schrödinger's cat »], Paris, Dunod, hors coll., (réimpr. coll. « Ekho », ), 1re éd., 1 vol., 319, ill., 24 cm (ISBN 978-2-10-074420-6, EAN 9782100744206, OCLC 949925628, BNF 45050056, SUDOC 93188090, présentation en ligne, lire en ligne), p. 79-81.
  • [Hamber 2008] (en) Herbert W. Hamber, Quantum gravitation : the Feynman path integral approach, Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., XVII-342 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-540-85292-6 et 978-3-642-09900-7, EAN 9783540852926, OCLC 470994206, BNF 41364517, DOI 10.1007/978-3-540-85293-3, SUDOC 137212887, présentation en ligne, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
  • [Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Physique », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-384, ill., fig. et graph., 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF b42740481q, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011] (en) Sergei Kopeikin, Michael Efroimsky et George Kaplan, Relativistic celestial mechanics of the solar system, Weinheim, Wiley-VCH, hors coll., , 1re éd., XXXI-860 p., 18,5 × 24,9 cm (ISBN 978-3-527-40856-6, EAN 9783527408566, OCLC 800837798, SUDOC 156553651, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Lachaume 2013] Xavier Lachaume (sous la direction d'Emmanuel Humbert et de Loïc Villain), Relativité générale, toujours plus générale : introduction au domaine de recherche, Tours, Laboratoire de mathématiques et de physique théorique, , 11 p., 21 × 29,7 cm (lire en ligne [PDF]), chap. 3 (« De la formulation lagrangienne à la théorie de Lovelock »), § 3.2 (« Les théorèmes de Lovelock »), p. 9-11.
  • [Lachièze-Rey 2013] M. Lachièze-Rey (avec la collab. de J. Ribassin), Initiation à la cosmologie, Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Physique », , 5e éd. (1re éd. ), 1 vol., VII-152, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-10-059239-5, EAN 9782100592395, OCLC 858206589, BNF 43619769, SUDOC 169390608, présentation en ligne, lire en ligne)
  • [Leite Lopes 1986] J. Leite Lopes (avec la collab. de R. Blind), Notions de relativité générale, Rio de Janeiro, CNPq – CBPF, coll. « Monografia » (no CBPF-MO-003/86), , 1re éd., 1 vol., 205, ill., 30 cm (OCLC 22516720, lire en ligne).
  • [MacCallum 2015] (en) Malcolm A.H. MacCallum, « Einstein's field equations », dans Nicholas J. Higham (éd. et préf.), Mark R. Dennis, Paul Glendinning, Paul A. Martin, Fadil Santosa et Jared Tanner (éd. associés), The Princeton companion to applied mathematics, Princeton et Oxford, Princeton University Press, coll. « Princeton companions », , 1re éd., 1 vol., XVII-994, 27 cm (ISBN 978-0-691-15039-0, EAN 9780691150390, OCLC 923003755, SUDOC 190115718, présentation en ligne, lire en ligne), part. III (« Equations, laws, and functions of applied mathematics », art. III.10, p. 144-146.
  • [Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner, K. S. Thorne et J. A. Wheeler, Gravitation [« Gravitation »], San Francisco, W. H. Freeman, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XXVI-1279-[1], ill., 26 cm (ISBN 0-7167-0334-3 et 0-7167-0344-0, EAN 9780716703440, OCLC 300307879, BNF 37391055, Bibcode 1973grav.book.....M, SUDOC 004830148, lire en ligne).
  • [Müller-Kirsten 2008] (en) H. J. W. Müller-Kirsten, Classical mechanics and relativity [« Mécanique classique et relativité »], Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XII-562, 26 cm (ISBN 978-981-283251-1 et 978-981-283252-8, EAN 9789812832528, OCLC 494451673, DOI 10.1142/6927, Bibcode 2008cmr..book.....M, SUDOC 131566342, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Pérez et Anterrieu 2016] José-Philippe Pérez (avec la collaboration d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., (réimpr.  et ), 3e éd. (1re éd. ), XXIII-439 p., 17,5 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7, 978-2-10-074717-7 et 978-2-10-085534-6, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
  • [Petitot 1997] J. Petitot, « Philosophie transcendantale et objectivité physique », Philosophiques, vol. 24, no 2,‎ , p. 3e part., art. no 3, p. 367-388 (DOI 10.7202/027459ar, résumé, lire en ligne).
  • [Zee 2013] (en) A. Zee, Einstein gravity in a nutshell [« La gravitation d'Einstein, en bref »], Princeton, Princet. Univ. Press, coll. « In a nutshell », , 1re éd., 1 vol., XXII-866, ill. et fig., 26 cm (ISBN 978-0-691-14558-7, EAN 9780691145587, OCLC 857978606, SUDOC 170984478, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Einstein tensor (tenseur d'Einstein) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
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