Sous-groupe de Cartan

Pour un sous-groupe de Cartan d'un groupe de Lie, voir Sous-algèbre de Cartan#Sous-groupe de Cartan.

En géométrie algébrique, un sous-groupe de Cartan d'un groupe algébrique linéaire connexe sur un corps algébriquement clos est le centralisateur d'un tore maximal (qui s'avère connexe)^[1]. Les sous-groupes de Cartan sont nilpotents^[2] et sont tous conjugués^{[réf. nécessaire]}.

Exemples

• Pour un corps fini F, le groupe des matrices diagonales ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}}$ où a et b sont des éléments de F^*. C'est ce qu'on appelle le sous-groupe de Cartan scindé de GL₂(F)^[3].
• Pour un corps fini F, tout sous-groupe semi-simple commutatif maximal de GL₂(F) est un sous-groupe de Cartan (et inversement)^[3].

Article connexe

• Sous-groupe de Borel

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cartan subgroup » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Armand Borel, Linear Algebraic Groups, vol. 126, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1991 (1^re éd. 1969) (ISBN 0-387-97370-2, DOI 10.1007/978-1-4612-0941-6, MR 1102012)
• Serge Lang, Algebra, vol. 211, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2002, 3^e éd., xv+918 (ISBN 978-0-387-95385-4, DOI 10.1007/978-1-4613-0041-0)
• (en) « Cartan subgroup », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Tonny A. Springer, Linear algebraic groups, vol. 9, Boston, MA, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics », 1998, 2^e éd., xii+334 (ISBN 978-0-8176-4021-7, DOI 10.1007/978-0-8176-4840-4, MR 1642713)

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