Enveloppe supérieure

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans ℝ est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

Définition

L'enveloppe supérieure d'une famille ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} d'applications d'un ensemble E {\displaystyle E} dans la droite réelle achevée R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} est l'application

sup i ∈ I f i : E → R ¯ , x ↦ sup i ∈ I ( f i ( x ) ) {\displaystyle \sup _{i\in I}{f_{i}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }},\quad x\mapsto \sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)} .

La notation sup i ∈ I f i {\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}} est justifiée par le fait[1] que l'enveloppe supérieure de la famille ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet[2] R ¯ E {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}^{E}} des applications de E {\displaystyle E} dans R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} .

On définit de même l'enveloppe inférieure avec inf {\displaystyle \inf } [3].

Propriétés

  • Avec les notations précédentes, l'épigraphe[4] de l'enveloppe supérieure de la famille ( f i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i})_{i\in I}} est l'intersection des épigraphes des f i {\displaystyle f_{i}}  :
    epi ⁡ ( sup i ∈ I f i ) = ⋂ i ∈ I epi ⁡ f i {\displaystyle \operatorname {epi} \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}{\operatorname {epi} {f_{i}}}} .
    On en déduit que :
    • sup i ∈ I f i {\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}} est convexe si E {\displaystyle E} est un ℝ-espace vectoriel et si les f i {\displaystyle f_{i}} sont convexes ;
    • sup i ∈ I f i {\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}} est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si E {\displaystyle E} est un espace topologique et si les f i {\displaystyle f_{i}} sont fermées.
  • Soit E {\displaystyle E} un espace localement convexe séparé. Une fonction de E {\displaystyle E} dans R ∪ { + ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues[5].

Notes et références

  1. ↑ N. Bourbaki, Topologie générale, (lire en ligne), IV.21.
  2. ↑ L'ordre naturel sur R ¯ E {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}^{E}} est l'ordre produit : f ≤ g ⇔ ∀ x ∈ E f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f\leq g\Leftrightarrow \forall x\in E\quad f(x)\leq g(x)} .
  3. ↑ Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, , p. 97.
  4. ↑ L'épigraphe d'une application f : E → R ¯ {\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}} est l'ensemble epi ⁡ f := { ( x , t ) ∈ E × R ∣ f ( x ) ≤ t } {\displaystyle \operatorname {epi} f:=\{(x,t)\in E\times \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}} .
  5. ↑ (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1999) (lire en ligne), p. 251.

Bibliographie

  • (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, , 2e éd. (1re éd. 2000) (lire en ligne)
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, (1re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
  • (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Ser. » (no 28), (lire en ligne)
  • icône décorative Portail de l'analyse