Constante MRB

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Graphe des 100 premières sommes partielles de ( − 1 ) k ( k k − 1 ) {\displaystyle (-1)^{k}({\sqrt[{k}]{k}}-1)}

La constante MRB (ou constante de Marvin Ray Burns) est une constante mathématique de premières décimales 0,187859… suite A037077 de l'OEIS. La constante porte le nom de Marvin Ray Burns qui l'a découverte, et a publié sa découverte en 1999[1]. Burns a initialement nommé cette constante "rc" pour root constant[2] (constante de la racine en français) mais, sur la suggestion de Simon Plouffe, la constante a été renommée[3].

La constante MRB est définie comme la limite supérieure de la somme partielle[4],[5]

s n = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k k k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\sqrt[{k}]{k}}}

Quand n {\displaystyle n} tend vers l'infini, cette somme a pour limites inférieure et supérieure −0,812140… et 0,187859…, séparées par un segment de longueur 1. La constante peut aussi être explicitée comme somme de série semi-convergente :

0 , 187859 … = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( k k − 1 ) = ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 k − 2 k − 1 2 k − 1 ) . {\displaystyle 0,187859\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}({\sqrt[{k}]{k}}-1)=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\sqrt[{2k}]{2k}}-{\sqrt[{2k-1}]{2k-1}}\right).}

Il n'y a pas d'expression de forme fermée de la constante MRB[6], et on ne sait rien de l'algébricité, de la transcendance, ni même de l'irrationalité de la constante MRB.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « MRB constant » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Plouffe, « mrburns » (consulté le )
  2. ↑ (en) Burns, « RC », math2.org, (consulté le )
  3. ↑ Plouffe, « Tables of Constants », Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, (consulté le )
  4. ↑ (en) Crandall, « Unified algorithms for polylogarithm, L-series, and zeta variants » [archive du ], PSI Press (consulté le )
  5. ↑ (it) Fiorentini, « MRB (costante) », bitman.name (consulté le )
  6. ↑ (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge, England, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-81805-2, lire en ligne), 450

Liens externes

  • Site de M.R. Burns
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