Centre de gravité

Ne doit pas être confondu avec la notion de centre d'inertie (aussi appelé centre de masse) et de barycentre.

Pour la notion de centre de gravité d’un triangle, voir Triangle#Médianes et centre de gravité.

Pour les articles homonymes, voir CDG et COG.

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En physique, le centre de gravité ou CdG, appelé G, est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est dépendant du champ de gravitation auquel le corps est soumis et ne peut pas être strictement confondu avec le centre d'inertie qui est le barycentre des masses. Dans la pratique, cependant, il est souvent assimilé à ce dernier, car, dans la plupart des cas, le champ de gravitation auquel le corps est soumis peut être considéré comme uniforme dans le corps considéré.

Historique

Importance du centre de gravité

En statique, le centre de gravité est le point d'application du poids. Il s'agit d'une simplification qui consiste à considérer le poids comme une force s'appliquant en un point unique, G, plutôt que de considérer une force volumique s'appliquant en chaque point de l'objet.

Tableau bilan des actions mécaniques

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
Poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$	Centre de gravité G	Verticale	Vers le bas	m⋅g, où m est la masse et g l'intensité locale du champ de gravité ${\displaystyle {\vec {g}}}$

Outre la simplification des calculs de statique, la connaissance de la position du centre de gravité est indispensable pour déterminer la stabilité d'un objet :

• pour un objet posé au sol, la droite d'action du poids ${\displaystyle (\mathrm {G} ,{\vec {z}})}$ doit passer dans la surface de sustentation ; si elle se trouve en dehors, l'objet bascule ;
• lorsqu'un véhicule accélère (au sens physique du terme : augmentation de la vitesse mais aussi freinage, virage), un objet dont le centre de gravité est haut risque de basculer ; il s'agit plus d'une propriété du centre de masse, et cela résulte du principe d'équivalence entre gravité et accélération ;
• lors du levage d'un objet (élingage), le centre de gravité s'aligne avec la verticale passant par le point d'accroche des élingues (sangles ou câbles) ; si le point d'accroche, le palonnier, ne se situe pas à l'aplomb du centre de gravité au départ, l'objet se balance ;
• pour un objet flottant, le centre de gravité se positionne à l'aplomb du centre de poussée des forces de pression sur la coque (voir Poussée d'Archimède) ; si le centre de gravité se déplace, l'objet bascule ;
• lorsqu'une personne seule lève une charge à la main, elle doit s'assurer que le centre de gravité de l'objet soit le plus proche possible de son bassin, et en particulier doit travailler le dos le plus droit possible ; cela limite l'effort de flexion sur les vertèbres lombaires.

Détermination du centre de gravité

Détermination expérimentale

Pour les objets complexes, comme des machines, on détermine les coordonnées x_G et y_G par élingage : on fait des essais de levage et l'on ajuste la position du point d'accroche des élingues jusqu'à obtenir l'équilibre.

On peut également poser l'objet sur plusieurs balances, au moins trois. La position du centre de gravité est alors le barycentre des positions des balances pondérées par le poids mesuré. Par exemple, pour déterminer le centre de gravité d'une voiture, on peut disposer une balance sous chaque roue.

On ne peut pas déterminer l'altitude z_G, sauf à faire des essais d'élingage ou de pesée avec une autre position de l'objet.

Calcul dans le cas général

Considérons un objet ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dont la masse volumique au point M vaut ${\displaystyle \rho \left(\mathrm {M} \right)}$ et qui est situé dans le champ de gravité ${\displaystyle {\vec {g}}\left(\mathrm {M} \right)}$. La position du centre de gravité ${\displaystyle \mathrm {G} _{g}}$ est définie par la relation suivante :

${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}{\overrightarrow {\mathrm {G} _{g}\mathrm {M} }}\wedge {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)~\mathrm {dV} ={\vec {0}}}$

où ${\displaystyle {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)}$ est le vecteur poids volumique définit par : ${\displaystyle {\vec {\pi }}\left(\mathrm {M} \right)=\rho \left(\mathrm {M} \right){\vec {g}}\left(\mathrm {M} \right)}$.

Cette relation traduit le fait que le moment du poids par rapport au centre de gravité est nul.

Calcul de la position pour les cas simples

Nous supposons ici que le champ de gravité ${\displaystyle {\vec {g}}}$ est homogène ; le centre de gravité est alors confondu avec le centre de masse.

Le centre de gravité des objets symétriques — sphères, parallélépipèdes (quelconques, rectangles ou cubes), prismes droits, solides de Platon — et homogènes se situe à leur centre géométrique. Si l'objet présente un élément de symétrie, le centre de gravité se situe sur cet élément de symétrie :

• symétrie de révolution (pièce composée de troncs de cône, sphères tronquées, cylindres tous coaxiaux) : le centre de gravité se situe sur l'axe de symétrie ;
• symétrie plane : le centre de gravité se situe sur le plan de symétrie.

Si l'objet est fait d'une tôle plane d'épaisseur constante, le centre de gravité est situé sur le plan passant au milieu de la tôle, et sur la normale passant par le centre de gravité du polygone.

Dans le cas d'un ensemble rigide, composé de n sous-ensembles dont les centres de gravité sont G_i et les poids p_i, le centre de gravité de l'ensemble est le barycentre des centres de gravité G_i pondérés par les poids p_i :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\frac {1}{p}}\sum _{1}^{n}p_{i}{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{i}}$

où p est le poids total, p = ∑p_i.

Par exemple, considérons la boîte d'entrée d'un échangeur de chaleur ci-contre^[1].

Les coordonnées des centres de gravité sont, en millimètres (unité usuelle en chaudronnerie) :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{1}{\begin{pmatrix}1200\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{2}{\begin{pmatrix}770\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{5}{\begin{pmatrix}507\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{10}{\begin{pmatrix}790\\-537\\0\\\end{pmatrix}},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}_{11}{\begin{pmatrix}790\\-546\\0\\\end{pmatrix}}{\text{.}}}$

Dans les calculs, les cotes sont converties en mètres :

p = 310 + 610 + 806 + 103 + 64 = 1 893 N ;

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {310\times 1,2+610\times 0,77+806\times 0,507+103\times 0,79+64\times 0,79}{1893}}=0,733\ \mathrm {m} =733\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {-103\times 0,537-64\times 0,546}{1893}}=-0,044\ \mathrm {m} =-44\ \mathrm {mm} \\z_{\mathrm {G} }=\ &0\\\end{aligned}}\right.}$

On présente souvent les calculs sous la forme d'un tableau.

Soit

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {1387,272}{1893}}=0,733\ \mathrm {m} =733\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {-83,855}{1893}}=-0,044\ \mathrm {m} =-44\ \mathrm {mm} \\z_{\mathrm {G} }=\ &0\\\end{aligned}}\right.}$

Méthode graphique

On peut utiliser la méthode du dynamique et du funiculaire pour déterminer la position du centre de gravité. En effet, si l'on considère des éléments discrets on peut imaginer le système en équilibre sur une pointe, celle-ci exerçant une force ${\displaystyle -{\vec {\mathrm {P} }}}$. On a donc à résoudre un problème de statique à forces parallèles, à ceci près que l'on connaît l'intensité de toutes les forces, et que l'inconnue est la droite d'action de l'une d'elles (${\displaystyle -{\vec {\mathrm {P} }}}$).

Pour procéder :

1. Sur le dynamique, on place les vecteurs poids les uns derrière les autres, dans l'ordre des pièces prises de gauche à droite.
2. On choisit un point appelé pôle, et l'on trace les droites joignant le pôle aux extrémités des vecteurs (droites polaires) ; on numérote ces droites de haut en bas.
3. On trace les parallèles aux droites polaires sur la figure pour former une ligne brisée ; par exemple, la droite 3', parallèle à la droite 3 séparant les vecteurs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$, est tracée entre les droites d'action de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$.
4. Les parallèles 0' et 4' aux deux droites polaires extrêmes sont tracées depuis les extrémités de la ligne brisées ; l'intersection de ces droites donne l'abscisse du centre de gravité.
5. Pour déterminer l'ordonnée, on tourne la figure d'un quart de tour et on applique à nouveau la méthode.

Pour déterminer le centre de gravité d'une plaque de forme complexe, on peut découper cette plaque en bandes, appliquer un poids à chaque bande et appliquer la même méthode.

• 
  Détermination du centre de gravité d'un groupe de rectangles (Asger Ostenfeld, Teknisk Elasticitetslære, Forfatterens Forlag (Copenhague, 1898), planche 3)
• 
  Détermination du centre de gravité d'un rail (op. cit. planche 4)

Utilisation des théorèmes de Guldin

Les théorèmes de Guldin s'appliquent pour les pièces de révolution. Ils mettent en relation

• la position du centre de gravité de l'arc générant une coque, la longueur de l'arc et l'aire de la coque ;
• la position du centre de gravité de la surface générant un solide, l'aire de cette surface et le volume de ce solide.

On peut ainsi déterminer la position du centre de gravité.

Étudions une coque hémicylindrique ; vue en bout, on voit un demi-cercle. Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.

Un demi-cercle, de longueur l = πr, tournant autour de sa corde, génère une sphère d'aire A = 4πr². Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant

${\displaystyle \mathrm {A} =pl\Rightarrow p={\frac {\mathrm {A} }{l}}={\frac {4\pi r^{2}}{\pi r}}=4r}$.

Si r_G est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors

${\displaystyle p=2\pi r_{\mathrm {G} }\Rightarrow r_{\mathrm {G} }={\frac {2r}{\pi }}}$.

Étudions maintenant une plaque en forme de demi-disque d'aire A = 1/2πr². Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.

En tournant autour de sa corde, ce demi-disque génère une sphère de volume V = 4/3πr³. Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant

${\displaystyle \mathrm {V} =p\mathrm {A} \Rightarrow p={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {A} }}={\frac {4/3\pi r^{3}}{\pi r^{2}/2}}={\frac {8}{3}}r}$.

Si r_G est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors

${\displaystyle p=2\pi r_{\mathrm {G} }\Rightarrow r_{\mathrm {G} }={\frac {4r}{3\pi }}}$.

Justification des méthodes de calcul

Cas d'un ensemble de points matériels

Soient deux points matériels M₁ et M₂ de masses respectives m₁ et m₂, donc de poids respectifs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$. Si ces points sont solidaires (reliés par une barre rigide de poids négligeable), on peut les remplacer par un point matériel unique G de poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}={\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

Pour que le système soit équivalent d'un point de vue statique, le moment du poids résultant ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ par rapport à un point quelconque A doit être égal à la somme des moments des forces ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ par rapport à ce point :

${\displaystyle {\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }})={\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})+{\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{2})}$

soit, par définition du moment d'une force,

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

On se place dans un repère orthonormé ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}$, z étant l'axe vertical, et l'on note les coordonnées :

M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), G(x_G, y_G, z_G)

et les composantes :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{1}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{2}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p\\\end{pmatrix}}}$

avec

${\displaystyle p_{1}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{1}\|,p_{2}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{2}\|,p=p_{1}+p_{2}}$.

Le point A est quelconque, on peut donc calculer le moment par rapport à O pour simplifier :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$

soit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{\mathrm {G} }p\\x_{\mathrm {G} }p\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-p_{1}y_{1}\\p_{1}x_{1}\\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-p_{2}y_{2}\\p_{2}x_{2}\\0\\\end{pmatrix}}}$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

On peut refaire le calcul en considérant que le poids est orienté selon l'axe x ; cela revient à tourner l'ensemble rigide {M₁, M₂} d'un quart de tour dans le plan vertical (x, z), et à considérer que le repère est lié à l'ensemble rigide {M₁, M₂}. On obtient alors une nouvelle relation similaire pour les coordonnées en z, soit finalement :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}z_{1}+p_{2}z_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le barycentre des points matériels pondérés par leur poids. On peut étendre ce résultat à un ensemble de n points M_i(x_i, y_i, z_i) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}x_{i}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}y_{i}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}z_{i}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec p = ∑p_i. Il présente toutes les propriétés géométriques du barycentre.

Le champ de gravité étant supposé homogène, on a

p_i = m_i⋅g

p = (∑m_i)⋅g

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}y_{i}}{m}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}z_{i}}{m}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec m = ∑m_i. On retrouve bien la définition du centre de masse.

Cas d'un objet continu

Soit un objet homogène de masse volumique ρ. Considérons un volume de matière infinitésimal dV autour d'un point M ; c'est un point matériel de masse dm = ρ(M)dV et de poids dp = dm⋅g.

Le calcul est similaire au cas discret, mais la somme devient une intégrale (l'intégrale est une somme sur un ensemble continu) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gx(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gy(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gz(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

avec ${\displaystyle p=\int \mathrm {d} p}$. Par ailleurs, si g est uniforme :

p = mg avec la masse ${\displaystyle m=\int \rho (\mathrm {M} )\mathrm {dV} }$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

ce qui est la définition du centre de masse.

Cas d'un objet homogène

Si la masse volumique est uniforme, alors

${\displaystyle m=\rho \int \mathrm {dV} =\rho \mathrm {V} }$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).

Champ de gravité non homogène

L'approximation du champ de gravitation ou de pesanteur uniforme n'est cependant pas toujours valable, dans certains problèmes d'astronomie notamment. Par exemple, dans le cas de la Lune, l'attraction gravitationnelle s'applique plus fort aux parties de la Lune proches de la Terre qu'aux parties plus éloignées, de sorte que le centre de gravité est en réalité légèrement plus proche de la Terre que le centre de masse. De plus, si le corps en orbite n'est pas parfaitement symétrique par rapport à son axe de rotation, la position du centre de gravité se déplace en permanence avec cette rotation. C'est la raison pour laquelle, outre les effets de marées gravitationnelles, un corps en orbite tend à synchroniser sa vitesse de rotation sur sa vitesse orbitale pour montrer sa face la plus sphérique. C'est déjà le cas pour la Lune qui nous montre toujours la même face, et la planète Mercure qui montre toujours la même face au Soleil. De plus, c'est également la raison pour laquelle le relief de la face cachée de la Lune est beaucoup plus important que celui de sa face visible.

Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

Objets présentant un Centre de gravité curieux ou contre intuitif

Le Centre de gravité de certains objets se trouve parfois dans une position curieuse. Par exemple, ce Centre de gravité peut être en dehors de la matière (matière dont, pourtant, il caractérise la répartition, par définition) : c'est le cas de l'anneau vert de l'image ci-contre ou, par exemple, le cas du mandrin (tube) sur lequel est enroulé le papier essuie-tout.

De nombreux objets décoratifs ou amusants utilisent cette caractéristique du Centre de gravité d'être dans une position contre intuitive.
Ci-dessous, exemple du curieux équilibre du rapace ou de l'ours funambule.

• 
  Le rapace contre intuitif
• 
  Ours funambule jouet. Le Centre de gravité de l'objet est situé sous le fil sur lequel roule l'ours.

Bibliographie

• Joseph Kane, Morton Sternheim et al., « Statique », dans Physique : 1er cycle/Licence · PCEM · PCEP, Dunod, 2004 (ISBN 978-2-10-007169-2)

Notes et références

Voir aussi

• Carl von Clausewitz, De la guerre, pour la notion de centre de gravité de l'ennemi en stratégie militaire.

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