Funktioavaruus

Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).

Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.

Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa Hilbertin avaruudessa.^[1]

• Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen ${\displaystyle Y}$ ja ${\displaystyle X}$ tulojoukkona ${\displaystyle Y^{X}}$, sillä millä tahansa funktiolla ${\displaystyle f}$ jokainen ${\displaystyle x\in X}$ "indeksoi" jonkin alkion ${\displaystyle y=f_{x}\in Y}$ (jota merkitään yleensä ${\displaystyle f(x)}$).^[2] Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$ voidaan myös ajatella funktiona ${\displaystyle v:\lbrace 1,2\rbrace \longrightarrow \mathbb {R} }$.

• Lineaarialgebrassa enintään ${\displaystyle n}$-asteisten polynomien joukko ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$ on ${\displaystyle n+1}$-ulotteinen funktioiden vektoriavaruus.

• Lebesguen avaruudet eli ${\displaystyle L^{p}}$-avaruudet ovat klassinen esimerkki funktioavaruuksista, jotka ovat täydellisiä normiavaruuksia, eli Banach-avaruuksia.^[3]

• Sileiden funktioiden joukko, eli ${\displaystyle k}$-kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko ${\displaystyle C^{k}}$ ja äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko ${\displaystyle C^{\infty }}$.^[4]

Funktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia.^[3] Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.

• Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) wiki.helsinki.fi. Arkistoitu 9.8.2014. Viitattu 10.9.2023. (suomeksi)