Eraztun trukakor

Matematikan (aljebra abstraktuaren adar batean: eraztunen teoria), eraztun trukakorra biderketa-eragiketa trukakorra duen eraztuna da. Hau da, edozein ${\displaystyle a,b\in R}$-rako ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ baldin bada. Eraztun hau ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ moduan adierazten da.

Eraztunak, horrez gain, ${\displaystyle 1}$ elementu unitarioa baldin badu zeinak ${\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1}$ bada ${\displaystyle a}$ guztietarako, eraztunari eraztun unitario trukakor deritzo.

Eraztun trukakorrak aztertzen dituen eraztunen teoriaren adarrari aljebra kommutatibo deritzo. Osagarri gisa, aljebra ez-konmutatiboa eraztun ez-trukakorren azterketa da, non ez baita beharrezkoa biderketa trukakorra izatea.

Adibideak

• Adibide garrantzitsu bat, eta nolabait erabakigarria, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zenbaki osoen eraztuna da, batuketa eta biderketako bi eragiketak dituena. Zenbaki osoen biderketa eragiketa trukakorra denez, eraztun konmutatiboa da. Oro har, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ da Zahlen (zenbakiak) hitz alemanaren laburdura.

• Zenbaki arrazionalek, errealek eta konplexuek eraztun trukakorrak eratzen dituzte ohiko eragiketekin; are gehiago, gorputzak dira. Orokorrean, gorputzen definizioagatik, edozein gorputza eraztun trukakorra da.

• Ohartu: eraztun ez-trukakor baten adibidea da balio errealak dituzten ${\displaystyle 2\times 2}$-ko matrize karratuen multzoa. Bigarren eragiketa gisa, biderketa matriziala

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

beste emaitza bat ematen du, faktoreen ordena alderantzikatzen bada:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle n>0}$ zenbaki oso bat baldin bada, ${\displaystyle n}$ modulu osoko Z_n multzoak ${\displaystyle n}$ elementuko eraztun trukakor bat eratzen du.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eraztun trukakorra bada, ${\displaystyle X}$ aldagaiaren polinomioen multzoa (haren koefizienteak ${\displaystyle \mathbb {R} }$-n egonik) eraztun trukakor berri bat sortzen du ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$adierazten dena.
• Izendatzaile bakoitia duten zenbaki arrazionalen multzoa eraztun trukakorra osatzen du, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ arrazionalen eraztunean hertsiki sartua, eta zenbaki osoen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zehazki duena.

Propietateak

• Baldin eta ${\displaystyle f:R}$ → ${\displaystyle S}$ R eta S eraztunen arteko homomorfismoa bada, S trukakorra bada, eta f injektiboa (hau da, monomorfismo bat), R ere trukakorra izan behar da. Izan ere ${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)=f(b)\cdot f(a)=f(b\cdot a)}$.
• Baldin eta ${\displaystyle f:R}$ → ${\displaystyle S}$ R eta S eraztunen arteko homomorfismoa bada, R trukakorra izanik, R-ren ${\displaystyle f(R)}$ irudia ere trukakorra izango da; bereziki, f supraiektiboa bada (hau da, epimorfismoa), S trukakorra izango da ere.

Eraztun trukakorren interes handiena dago aipatutakoaz gain unitarioak direnean, hau da, eraztun trukakor unitarioak.

Kanpo estekak

• Datuak: Q858656