Secuencia de Riesz

En matemáticas, una secuencia de vectores (x_n) en un espacio de Hilbert ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ es una secuencia de Riesz si existen constantes ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$ tal que

${\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

para todas las secuencias de escalares (a_n) en el espacio ℓ². Una secuencia de Riesz es llamada base de Riesz si

${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H}$ .

Teoremas

Si H es un espacio finito, entonces toda base de H es una base de Riesz.

Dado ${\displaystyle \varphi }$ en el espacio L^p L²(R), y sea

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)}$

y sea ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle {\varphi }}$. Dadas las constantes c y C con ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$. Entonces tenemos las siguientes equivalencias:

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

La primera de las condiciones es la definición para que (${\displaystyle {\varphi _{n}}}$) forme una base de Riesz para el espacio generado por (${\displaystyle {\varphi _{n}}}$).

Véase también

• Base ortonormal
• Espacio de Hilbert
• Marco de un espacio vectorial

Referencias

• Christensen, Ole (2001), «Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 38 (3): 273-291, doi:10.1090/S0273-0979-01-00903-X .
• Mallat, Stéphane (2008), A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (3ra edición), pp. 46-47, ISBN 9780123743701 .