Ein Rückwärtsmartingal, auch inverses Martingal[1] oder rückwärts gerichtetes Martingal[2] genannt, ist ein stochastischer Prozess, der aus einem Martingal entsteht, indem man die Indexmenge umkehrt. Anschaulich handelt es sich also um ein Martingal, das „rückwärts abgespielt wird“. Ebenso wie für Martingale existieren auch für Rückwärtsmartingale Konvergenzsätze. Diese finden beispielsweise bei dem Beweis des Darstellungssatzes von de Finetti über die Struktur von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen Verwendung.
Definition
Gegeben sei eine Filtrierung
und
ein
-Martingal. Dann heißt der Prozess
![{\displaystyle X:=(X_{-n})_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9fc131f2188209b8d0aefa71b98595311a1afa)
ein Rückwärtsmartingal.
Eigenschaften
Man beachte, dass für die Filtrierung weiterhin
für
mit
gilt.
enthält somit alle relevanten Informationen des Prozesses.
Rückwärtsmartingale sind immer gleichgradig integrierbar, da sie aufgrund der Martingaleigenschaft immer die Darstellung
![{\displaystyle X_{-n}=\operatorname {E} (X_{0}|{\mathcal {F}}_{-n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fdc2986c37ec025b0a4e13d03b58b1688e077c)
besitzen und Doob-Martingale immer gleichgradig integrierbar sind.
Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale
Aussage
Ist
ein Martingal bezüglich
, so existiert
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{-n}=X_{-\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49751f5af29a1ba4872b0c2de08a0822d305054)
im Mittel und fast sicher. Mit
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{-\infty }:=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5627f149df0d0d69ae4bbcaeef6d0fd245c4ece4)
gilt dann
.
Analog zum Martingalkonvergenzsatz folgt der Beweis mittels der Aufkreuzungsungleichung durch Betrachten der Aufkreuzungen zwischen
und
über
.
Folgerung
Eine für die Herleitung des Satzes von de Finetti wichtige Folgerung aus der obigen Aussage ist die folgende: Ist
![{\displaystyle \varphi \colon E^{k}\to \mathbb {R} {\text{ messbar, }}\operatorname {E} (|\varphi (X_{1},\dots ,X_{k})|)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a657c84b248310bdee2ca4357eff103756f9de6)
und
eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten in
sowie
die Permutation der Zufallsvariablen unter
und
![{\displaystyle A_{n}(\varphi )={\tfrac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S(n)}\varphi ((X_{1},\dots ,X_{n})^{\sigma })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4306a68544cec5c0012c3a98790b16368e0d3765)
das symmetrisierte Mittel. Dann gilt im Mittel und fast sicher
.
Dabei bezeichnet
die terminale σ-Algebra und
die austauschbare σ-Algebra.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
Einzelnachweise
- ↑ Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 84, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 267.