Meixner-Polynome

Die Meixner-Polynome sind diskrete orthogonale Polynome. Sie sind nach dem deutschen Physiker Josef Meixner benannt. Sie sind gerade orthogonal bezüglich der negativen Binomialverteilung.[1]

Meixner-Polynome

Notation:

Für n > 0 {\displaystyle n>0} definiere das Pochhammer-Symbol

( a ) n = a ( a + 1 ) ⋯ ( a + n − 1 ) , {\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1),}

und definiere die Gaußsche hypergeometrische Funktion

2 F 1 ( a 1 , a 2 b | c ) := ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ( a 2 ) n ( b ) n c n n ! . {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a_{1},a_{2}\\b\end{matrix}}{\bigg \vert }c\right):=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}}{(b)_{n}}}{\frac {c^{n}}{n!}}.}

Definition

Die Meixner-Polynome M n ( x ; β , c ) {\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)} sind definiert als

M n ( x ; β , c ) = 2 F 1 ( − n , − x β | 1 − 1 c ) . {\displaystyle M_{n}(x;\beta ,c)={}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}-n,-x\\\beta \end{matrix}}{\bigg \vert }1-{\frac {1}{c}}\right).}

Für β > 0 {\displaystyle \beta >0} und 0 < c < 1 {\displaystyle 0<c<1} sind sie orthogonal auf N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} bezüglich der Gewichtsfunktion

w ( x ; β , c ) = ( β ) x x ! c x , x = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle w(x;\beta ,c)={\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x},\qquad x=0,1,2,\dots ,}

das heißt

∑ x = 0 ∞ M n ( x ; β , c ) M m ( x ; β , c ) ( β ) x x ! c x = n ! ( 1 − c ) − β c n ( β ) n δ m n {\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{\infty }M_{n}(x;\beta ,c)M_{m}(x;\beta ,c){\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}}\delta _{mn}}

Eigenschaften

Drei-Term-Rekursion

Die Meixner-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

− x M n ( x ; β , c ) = c ( β + n ) 1 − c M n + 1 ( x ; β , c ) − n + c ( β + n ) 1 − c M n ( x ; β , c ) + n 1 − c M n − 1 ( x ; β , c ) . {\displaystyle -xM_{n}(x;\beta ,c)={\frac {c(\beta +n)}{1-c}}M_{n+1}(x;\beta ,c)-{\frac {n+c(\beta +n)}{1-c}}M_{n}(x;\beta ,c)+{\frac {n}{1-c}}M_{n-1}(x;\beta ,c).}

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion ist

∑ n = 0 ∞ ( β ) n n ! M n ( x ; β , c ) t n = ( 1 − t / c ) x ( 1 − t ) − x − β . {\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{n}}{n!}}M_{n}(x;\beta ,c)t^{n}=(1-t/c)^{x}(1-t)^{-x-\beta }.}

Grenzwertverhalten

Beziehung zu den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen

Es gilt

lim c → 1 − M n ( x / ( 1 − c ) ; α + 1 , c ) = n ! ( α + 1 ) n L n ( α ) ( x ) . {\displaystyle \lim \limits _{c\to 1^{-}}M_{n}(x/(1-c);\alpha +1,c)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}L_{n}^{(\alpha )}(x).}

wobei L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Beziehung zu den Charlier-Polynomen

Es gilt

lim β → ∞ M n ( x ; β , a / ( β + a ) ) = C n ( x ; a ) , {\displaystyle \lim \limits _{\beta \to \infty }M_{n}(x;\beta ,a/(\beta +a))=C_{n}(x;a),}

wobei

C n ( x ; a ) := 2 F 0 ( − n , − x − | − 1 a ) {\displaystyle C_{n}(x;a):={}_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{a}}\right)}

Charlier-Polynome genannt werden.

Literatur

  • Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2. 

Einzelnachweise

  1. ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 6.1).