Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.
Definition
Sei
eine Lie-Gruppe,
ihre Lie-Algebra. Für
induziert die Links-Multiplikation
![{\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8baaf4bc6b2d04ef096a2b9811f06a7f12ae459)
![{\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83f97b5e9a3e3f679a9940cad14922f628918ec)
das Differential
.
Die Maurer-Cartan-Form
ist definiert durch
![{\displaystyle \omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0ef06a6ac97ab5ee5a88534ca162cd21d811ea)
für
.[1]
Maurer-Cartan-Gleichung
Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung
.
Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch
![{\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ccefbf2bbbecdc5447b90197d94df75950cc86)
und die äußere Ableitung
durch
![{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c3a22915a42e9a1a708716b6aa3ff84d40a7f2)
definiert.
Einzelnachweise
- ↑ Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form.