Koordinatenflächen der Ellipsoid-Koordinaten (η,θ,λ ) mit a=60 und b=40. Das blaue Ellipsoid gehört zu η =70, das rote einschalige Hyperboloid entspricht θ =50 und das gelbe zweischalige λ =30.Ellipsoid-Koordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt des dreidimensionalen Raums durch Angabe der Lage auf einem Ellipsoid und konfokalen Hyperboloiden bestimmt wird, siehe Bild.
Ellipsoid-Koordinaten (englisch ellipsoidal coordinates [1] :40 [2] :663 ) erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung,[1] :8 was deren Lösung stark vereinfacht. Ellipsoid-Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets ellipsoid- oder hyperboloidförmig sind.
Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2 + -Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung separiert und für spezielle Formen der potentiellen Energie auch gelöst werden.[2] :511ff [3]
Sie sind nicht zu verwechseln mit den ellipsoidischen Koordinaten, die auf der Oberfläche eines Ellipsoids definiert sind und in der Geodäsie benutzt werden.
In Ellipsoid-Koordinaten[2] :511 [1] :40 (η,θ,λ ) bestehen die Koordinatenflächen aus einem Ellipsoid (η =const., blau im Bild oben),
x 2 η 2 − a 2 + y 2 η 2 − b 2 + z 2 η 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\eta ^{2}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\eta ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\eta ^{2}}}=1} einem einschaligen Hyperboloid (θ =const., rot im Bild oben)
y 2 θ 2 − b 2 + z 2 θ 2 − x 2 a 2 − θ 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{\theta ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\theta ^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}-\theta ^{2}}}=1} und einem zweischaligen (mit λ =const., gelb im Bild oben)
z 2 λ 2 − x 2 a 2 − λ 2 − y 2 b 2 − λ 2 = 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda ^{2}}}=1} Damit das möglich ist, muss
0 ≤ λ 2 < b 2 < θ 2 < a 2 < η 2 {\displaystyle 0\leq \lambda ^{2}<b^{2}<\theta ^{2}<a^{2}<\eta ^{2}} sein. Aus obigen drei Gleichungen können die Koordinatenquadrate bestimmt werden:
x 2 = ( η 2 − a 2 ) ( θ 2 − a 2 ) ( λ 2 − a 2 ) a 2 ( a 2 − b 2 ) , y 2 = ( η 2 − b 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( λ 2 − b 2 ) b 2 ( b 2 − a 2 ) , z 2 = ( η θ λ a b ) 2 {\displaystyle x^{2}={\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-a^{2})}{a^{2}(a^{2}-b^{2})}},\;y^{2}={\frac {(\eta ^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}{b^{2}(b^{2}-a^{2})}},\;z^{2}=\left({\frac {\eta \theta \lambda }{ab}}\right)^{2}} Die Koordinaten können mit den drei grundlegenden Jacobischen Funktionen s n ( α , k ) , c n ( β , k ′ ) , d n ( γ , k ) {\displaystyle {\rm {sn}}(\alpha ,k),\,{\rm {cn}}(\beta ,k'),\,{\rm {dn}}(\gamma ,k)} k = b / a {\displaystyle k=b/a} k ′ = 1 − k 2 =: d / a , d := a 2 − b 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}=:d/a,d:={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} α, β und γ dargestellt werden[2] :663 :
( x y z ) = a c n ( α , k ) ( k ′ s n ( α , k ) s n ( β , k ′ ) d n ( γ , k ) k ′ c n ( β , k ′ ) c n ( γ , k ) d n ( α , k ) d n ( β , k ′ ) s n ( γ , k ) ) , ( η θ λ ) = a c n ( α , k ) ( d n ( α , k ) c n ( α , k ) d n ( β , k ′ ) k c n ( α , k ) s n ( γ , k ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {a}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)}}{\begin{pmatrix}k'\,{\rm {sn}}(\alpha ,k)\,{\rm {sn}}(\beta ,k')\,{\rm {dn}}(\gamma ,k)\\k'\,{\rm {cn}}(\beta ,k')\,{\rm {cn}}(\gamma ,k)\\{\rm {dn}}(\alpha ,k)\,{\rm {dn}}(\beta ,k')\,{\rm {sn}}(\gamma ,k)\\\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}\eta \\\theta \\\lambda \end{pmatrix}}={\frac {a}{{\rm {cn}}(\alpha ,k)}}{\begin{pmatrix}{\rm {dn}}(\alpha ,k)\\{\rm {cn}}(\alpha ,k)\,{\rm {dn}}(\beta ,k')\\k\,{\rm {cn}}(\alpha ,k)\,{\rm {sn}}(\gamma ,k)\end{pmatrix}}} In dieser Darstellung fällt θ ≥0 und z = η θ λ a b {\displaystyle z={\tfrac {\eta \theta \lambda }{ab}}}
Die kovarianten Basisvektoren sind mit r → = ( x , y , z ) ⊤ {\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{\top }}
g → η := ∂ r → ∂ η = ( η x η 2 − a 2 η y η 2 − b 2 z η ) , g → θ := ∂ r → ∂ θ = ( − θ x a 2 − θ 2 θ y θ 2 − b 2 z θ ) , g → λ := ∂ r → ∂ λ = ( − λ x a 2 − λ 2 − λ y b 2 − λ 2 z λ ) {\displaystyle {\vec {g}}_{\eta }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \eta }}={\begin{pmatrix}{\frac {\eta x}{\eta ^{2}-a^{2}}}\\{\frac {\eta y}{\eta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\eta }}\end{pmatrix}},\;{\vec {g}}_{\theta }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}-{\frac {\theta x}{a^{2}-\theta ^{2}}}\\{\frac {\theta y}{\theta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\theta }}\end{pmatrix}},\;{\vec {g}}_{\lambda }:={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \lambda }}={\begin{pmatrix}-{\frac {\lambda x}{a^{2}-\lambda ^{2}}}\\-{\frac {\lambda y}{b^{2}-\lambda ^{2}}}\\{\frac {z}{\lambda }}\end{pmatrix}}} die, wie es sein soll, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.[4] metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:[2] :663
h η = ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) , h θ = ( θ 2 − η 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ( θ 2 − a 2 ) ( θ 2 − b 2 ) , h λ = ( λ 2 − η 2 ) ( λ 2 − θ 2 ) ( λ 2 − a 2 ) ( λ 2 − b 2 ) {\displaystyle h_{\eta }={\sqrt {\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}},\;h_{\theta }={\sqrt {\frac {(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}},\;h_{\lambda }={\sqrt {\frac {(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}{(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}}} Das ellipsoidische Orthonormalsystem ist dementsprechend
c ^ η := ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ( η x η 2 − a 2 η y η 2 − b 2 z η ) c ^ θ := ( θ 2 − a 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( θ 2 − η 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ( − θ x a 2 − θ 2 θ y θ 2 − b 2 z θ ) c ^ λ := ( λ 2 − a 2 ) ( λ 2 − b 2 ) ( λ 2 − η 2 ) ( λ 2 − θ 2 ) ( − λ x a 2 − λ 2 − λ y b 2 − λ 2 z λ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {c}}_{\eta }:=&{\sqrt {\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\eta x}{\eta ^{2}-a^{2}}}\\{\frac {\eta y}{\eta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\eta }}\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\theta }:=&{\sqrt {\frac {(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}{(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\theta x}{a^{2}-\theta ^{2}}}\\{\frac {\theta y}{\theta ^{2}-b^{2}}}\\{\frac {z}{\theta }}\end{pmatrix}}\\{\hat {c}}_{\lambda }:=&{\sqrt {\frac {(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}{(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\lambda x}{a^{2}-\lambda ^{2}}}\\-{\frac {\lambda y}{b^{2}-\lambda ^{2}}}\\{\frac {z}{\lambda }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} Das Linien-, Flächen- und Volumenelement ergibt sich zu[1] :18 [5] :392
d r → = g → η d η + g → θ d θ + g → λ d λ d s 2 := | d r → | 2 = ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) d η 2 + ( θ 2 − η 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ( θ 2 − a 2 ) ( θ 2 − b 2 ) d θ 2 + ( λ 2 − η 2 ) ( λ 2 − θ 2 ) ( λ 2 − a 2 ) ( λ 2 − b 2 ) d λ 2 d A := h η h θ c ^ λ d η d θ + h θ h λ c ^ η d θ d λ + h λ h η c ^ θ d λ d η d V := h η h θ h λ d η d θ d λ {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}{\vec {r}}=&{\vec {g}}_{\eta }{\rm {d}}\eta +{\vec {g}}_{\theta }{\rm {d}}\theta +{\vec {g}}_{\lambda }{\rm {d}}\lambda \\{\rm {d}}s^{2}:=&|{\rm {d}}{\vec {r}}|^{2}={\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\eta ^{2}+{\frac {(\theta ^{2}-\eta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\theta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\theta ^{2}+{\frac {(\lambda ^{2}-\eta ^{2})(\lambda ^{2}-\theta ^{2})}{(\lambda ^{2}-a^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}\,{\rm {d}}\lambda ^{2}\\{\rm {d}}A:=&h_{\eta }h_{\theta }{\hat {c}}_{\lambda }\,{\rm {d}}\eta \,{\rm {d}}\theta +h_{\theta }h_{\lambda }{\hat {c}}_{\eta }\,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}\lambda +h_{\lambda }h_{\eta }{\hat {c}}_{\theta }\,{\rm {d}}\lambda \,{\rm {d}}\eta \\{\rm {d}}V:=&h_{\eta }h_{\theta }h_{\lambda }\,{\rm {d}}\eta \,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}\lambda \end{aligned}}}
Differentialoperatoren in Ellipsoid-Koordinaten Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren, wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.
Der Laplace-Operator ist:[1] :18
Δ f = ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ∂ ∂ η ( ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ∂ f ∂ η ) + ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( η 2 − θ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ∂ ∂ θ ( ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ∂ f ∂ θ ) + ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ∂ ∂ λ ( ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ∂ f ∂ λ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left({\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\&+{\frac {\sqrt {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}{(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left({\sqrt {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\right)\end{aligned}}} oder mit ausgeführten Ableitungen und zusammengefasst:
Δ f = ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ∂ 2 f ∂ η 2 + ( 2 η 2 − a 2 − b 2 ) η ∂ f ∂ η ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) + ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ∂ 2 f ∂ θ 2 − ( 2 θ 2 − a 2 − b 2 ) θ ∂ f ∂ θ ( η 2 − θ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) + ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ∂ 2 f ∂ λ 2 + ( 2 λ 2 − a 2 − b 2 ) λ ∂ f ∂ λ ( η 2 − λ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+(2\eta ^{2}-a^{2}-b^{2})\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})}}\\&+{\frac {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}-(2\theta ^{2}-a^{2}-b^{2})\theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}}{(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}\\&+{\frac {(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial \lambda ^{2}}}+(2\lambda ^{2}-a^{2}-b^{2})\lambda {\frac {\partial f}{\partial \lambda }}}{(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}}\end{aligned}}}
In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung . Aus der Literatur sind folgende zwei Ansätze bekannt.
Der Ansatz von Moon und Spencer Ausgangspunkt des im Hauptartikel beschriebenen Vorgehens ist die Stäckel-Matrix[1] :41
S := ( η 4 ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − a 2 ) 1 ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − a 2 ) η 2 ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − a 2 ) − θ 4 ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) − 1 ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) − θ 2 ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) λ 4 ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) 1 ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) λ 2 ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) ) {\displaystyle \mathbf {S} :={\begin{pmatrix}{\frac {\eta ^{4}}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}&{\frac {1}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}&{\frac {\eta ^{2}}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})}}\\{\frac {-\theta ^{4}}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}&{\frac {-1}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}&{\frac {-\theta ^{2}}{(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}\\{\frac {\lambda ^{4}}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}&{\frac {1}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}&{\frac {\lambda ^{2}}{(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\end{pmatrix}}} mit der Determinante
S = ( η 2 − θ 2 ) ( η 2 − λ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( η 2 − a 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) {\displaystyle S={\frac {(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-a^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}} und den Minoren
M 1 = θ 2 − λ 2 ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) M 2 = η 2 − λ 2 ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) M 3 = η 2 − θ 2 ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}=&{\frac {\theta ^{2}-\lambda ^{2}}{(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{2}=&{\frac {\eta ^{2}-\lambda ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{3}=&{\frac {\eta ^{2}-\theta ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})}}\end{aligned}}} Damit sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung gemäß
h η 2 = S M 1 , h θ 2 = S M 2 , h λ 2 = S M 3 {\displaystyle h_{\eta }^{2}={\frac {S}{M_{1}}},\,h_{\theta }^{2}={\frac {S}{M_{2}}},\,h_{\lambda }^{2}={\frac {S}{M_{3}}}} und
h η h θ h λ S = ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ⋅ ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ⋅ ( b 2 − λ 2 ) ( a 2 − λ 2 ) {\displaystyle {\frac {h_{\eta }h_{\theta }h_{\lambda }}{S}}={\sqrt {(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\cdot {\sqrt {(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\cdot {\sqrt {(b^{2}-\lambda ^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})}}} erfüllt. Die Faktoren für den Separationsansatz ϕ ( η , θ , λ ) = H ( η ) ⋅ Θ ( θ ) ⋅ Λ ( λ ) {\displaystyle \phi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \Theta (\theta )\cdot \Lambda (\lambda )} α 1 , 2 , 3 {\displaystyle \alpha _{1,2,3}} [1] :43
( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ∂ 2 H ∂ η 2 + [ 2 η 2 − ( a 2 + b 2 ) ] η ∂ H ∂ η + ( a 1 η 4 + a 3 η 2 + a 2 ) H = 0 ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ∂ 2 Θ ∂ θ 2 − [ 2 θ 2 − ( a 2 + b 2 ) ] θ ∂ Θ ∂ θ − ( a 1 θ 4 + a 3 θ 2 + a 2 ) Θ = 0 ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ∂ 2 Λ ∂ λ 2 + [ 2 λ 2 − ( a 2 + b 2 ) ] λ ∂ Λ ∂ λ + ( a 1 λ 4 + a 3 λ 2 + a 2 ) Λ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+[2\eta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+(a_{1}\eta ^{4}+a_{3}\eta ^{2}+a_{2})H=&0\\(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-[2\theta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}-(a_{1}\theta ^{4}+a_{3}\theta ^{2}+a_{2})\Theta =&0\\(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+[2\lambda ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+(a_{1}\lambda ^{4}+a_{3}\lambda ^{2}+a_{2})\Lambda =&0\end{aligned}}} Bei der Helmholtz-Gleichung Δ ϕ + κ 2 ϕ = 0 {\displaystyle \Delta \phi +\kappa ^{2}\phi =0} α 1 = κ 2 {\displaystyle \alpha _{1}=\kappa ^{2}} α 1 = 0 {\displaystyle \alpha _{1}=0} [1] :6
Der Ansatz von Morse und Feshbach Ein anderer Ansatz[2] :663 benutzt die Stäckel-Matrix
S = ( 1 1 η 2 − a 2 1 ( a 2 − b 2 ) ( η 2 − b 2 ) 1 1 θ 2 − a 2 1 ( a 2 − b 2 ) ( θ 2 − b 2 ) 1 1 λ 2 − a 2 1 ( a 2 − b 2 ) ( λ 2 − b 2 ) ) {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{\eta ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\eta ^{2}-b^{2})}}\\1&{\frac {1}{\theta ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\\1&{\frac {1}{\lambda ^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{(a^{2}-b^{2})(\lambda ^{2}-b^{2})}}\end{pmatrix}}} mit der Determinante
S = ( η 2 − λ 2 ) ( η 2 − θ 2 ) ( θ 2 − λ 2 ) ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) {\displaystyle S={\frac {(\eta ^{2}-\lambda ^{2})(\eta ^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-\lambda ^{2})}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}} und den Minoren
M 1 = θ 2 − λ 2 ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) M 2 = η 2 − λ 2 ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) M 3 = η 2 − θ 2 ( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}=&{\frac {\theta ^{2}-\lambda ^{2}}{(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{2}=&{\frac {\eta ^{2}-\lambda ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})}}\\M_{3}=&{\frac {\eta ^{2}-\theta ^{2}}{(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2})(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}} Die Faktoren für den Separationsansatz ϕ ( η , θ , λ ) = H ( η ) ⋅ Θ ( θ ) ⋅ Λ ( λ ) {\displaystyle \phi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \Theta (\theta )\cdot \Lambda (\lambda )} α 1 , 2 , 3 {\displaystyle \alpha _{1,2,3}}
( η 2 − a 2 ) ( η 2 − b 2 ) ∂ 2 H ∂ η 2 + ( 2 η 2 − a 2 − b 2 ) η ∂ H ∂ η + … ⋯ + { α 1 η 4 − [ α 1 ( a 2 + b 2 ) − α 2 ] η 2 + ( α 1 a 2 − α 2 ) b 2 } H = − α 3 η 2 − a 2 a 2 − b 2 H ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) ∂ 2 Θ ∂ θ 2 − ( 2 θ 2 − b 2 − a 2 ) θ ∂ Θ ∂ θ + … ⋯ + [ α 1 ( a 2 − θ 2 ) ( θ 2 − b 2 ) − α 2 ( θ 2 − b 2 ) ] Θ = − α 3 a 2 − θ 2 a 2 − b 2 Θ ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) ∂ 2 Λ ∂ λ 2 + ( 2 λ 2 − b 2 − a 2 ) λ ∂ Λ ∂ λ + … ⋯ + [ α 1 ( a 2 − λ 2 ) ( b 2 − λ 2 ) − α 2 ( b 2 − λ 2 ) ] Λ = α 3 a 2 − λ 2 a 2 − b 2 Λ {\displaystyle {\begin{aligned}&(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+(2\eta ^{2}-a^{2}-b^{2})\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+\dots \\&\qquad \dots +\{\alpha _{1}\eta ^{4}-[\alpha _{1}(a^{2}+b^{2})-\alpha _{2}]\eta ^{2}+(\alpha _{1}a^{2}-\alpha _{2})b^{2}\}H=-\alpha _{3}{\frac {\eta ^{2}-a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}H\\&(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-(2\theta ^{2}-b^{2}-a^{2})\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})-\alpha _{2}(\theta ^{2}-b^{2})]\Theta =-\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\theta ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Theta \\&(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+(2\lambda ^{2}-b^{2}-a^{2})\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})-\alpha _{2}(b^{2}-\lambda ^{2})]\Lambda =\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\lambda ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Lambda \end{aligned}}} Auch hier ist α 1 = κ 2 {\displaystyle \alpha _{1}=\kappa ^{2}} Δ ϕ + κ 2 ϕ = 0 {\displaystyle \Delta \phi +\kappa ^{2}\phi =0} α 1 = 0 {\displaystyle \alpha _{1}=0} [1] :6
Wird hier α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} a 4 α 1 + α 2 + a 2 α 3 a 2 − b 2 {\displaystyle {\tfrac {a^{4}\alpha _{1}+\alpha _{2}+a^{2}\alpha _{3}}{a^{2}-b^{2}}}} α 3 {\displaystyle \alpha _{3}} − ( b 4 α 1 + α 2 + b 2 α 3 ) {\displaystyle -(b^{4}\alpha _{1}+\alpha _{2}+b^{2}\alpha _{3})} #Der Ansatz von Moon und Spencer hervorbringt. Die mit den beiden Ansätzen ermittelten Differentialgleichungen unterscheiden sich nur in der Größe der Trennungskonstanten α 2 , 3 {\displaystyle \alpha _{2,3}}
Weblinks
Einzelnachweise ↑ a b c d e f g h i P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook . Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S. 3 ff . ↑ a b c d e f P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I . McGraw-Hill, New York 1953 (archive.org). ↑ Trotz Trennung der Veränderlichen kann die Schrödinger Gleichung nur in Spezialfällen analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten. In drei Dimensionen muss die Potentielle Energie eine bestimmte Form aufweisen, damit eine Lösung gelingt, siehe Morse & Feshbach (1953), S. 511ff. ↑ Bei Moon und Spencer (1971), S. 40 sind die x und z Komponenten gegenüber der Darstellung von Morse und Feshbach (1953), S. 663 vertauscht, sodass bei ersteren kein Rechtssystem entsteht. ↑ Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik . Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1 . Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, doi :10.1007/978-3-658-25272-4 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+[2\eta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+(a_{1}\eta ^{4}+a_{3}\eta ^{2}+a_{2})H=&0\\(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-[2\theta ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}-(a_{1}\theta ^{4}+a_{3}\theta ^{2}+a_{2})\Theta =&0\\(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+[2\lambda ^{2}-(a^{2}+b^{2})]\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+(a_{1}\lambda ^{4}+a_{3}\lambda ^{2}+a_{2})\Lambda =&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70221c4aa0dc1b90fa482ce371f70cbb0f516412)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\eta ^{2}-a^{2})(\eta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}H}{\partial \eta ^{2}}}+(2\eta ^{2}-a^{2}-b^{2})\eta {\frac {\partial H}{\partial \eta }}+\dots \\&\qquad \dots +\{\alpha _{1}\eta ^{4}-[\alpha _{1}(a^{2}+b^{2})-\alpha _{2}]\eta ^{2}+(\alpha _{1}a^{2}-\alpha _{2})b^{2}\}H=-\alpha _{3}{\frac {\eta ^{2}-a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}H\\&(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2}){\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \theta ^{2}}}-(2\theta ^{2}-b^{2}-a^{2})\theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\theta ^{2})(\theta ^{2}-b^{2})-\alpha _{2}(\theta ^{2}-b^{2})]\Theta =-\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\theta ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Theta \\&(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2}){\frac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}+(2\lambda ^{2}-b^{2}-a^{2})\lambda {\frac {\partial \Lambda }{\partial \lambda }}+\dots \\&\qquad \dots +[\alpha _{1}(a^{2}-\lambda ^{2})(b^{2}-\lambda ^{2})-\alpha _{2}(b^{2}-\lambda ^{2})]\Lambda =\alpha _{3}{\frac {a^{2}-\lambda ^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\Lambda \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee48154c5017791c5f1371d8aedb4336d51b5d6)
