Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators H {\displaystyle H} . Dann gilt für zwei Operatoren A {\displaystyle A} und C {\displaystyle C} (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

| ⟨ [ A , C ] ⟩ | 2 ≤ β 2 ⟨ { A , A † } ⟩ ⋅ ⟨ [ C † , [ H , C ] ] ⟩ mit β = 1 k B T {\displaystyle |\langle [A,C]\rangle |^{2}\leq {\frac {\beta }{2}}\langle \{A,A^{\dagger }\}\rangle \cdot \langle [C^{\dagger },[H,C]]\rangle \qquad {\text{mit}}\qquad \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}

wobei [ A , C ] {\displaystyle [A,C]} als Kommutator bzw. { A , A † } {\displaystyle \{A,A^{\dagger }\}} als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X {\displaystyle X} als

⟨ X ⟩ = Sp ( e − β H X ) / Sp ( e − β H ) {\displaystyle \langle X\rangle ={\text{Sp}}(e^{-\beta H}X)/{\text{Sp}}(e^{-\beta H})}

gegeben ist. k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

( A , B ) := ∑ n m E n ≠ E m ⟨ n | A † | m ⟩ ⟨ m | B | n ⟩ e − β E m − e − β E n E n − E m {\displaystyle (A,B):=\sum _{nm}^{E_{n}\neq E_{m}}\langle n|A^{\dagger }|m\rangle \langle m|B|n\rangle {\frac {e^{-\beta E_{m}}-e^{-\beta E_{n}}}{E_{n}-E_{m}}}}

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

| ( A , B ) | 2 ≤ ( A , A ) ⋅ ( B , B ) {\displaystyle |(A,B)|^{2}\leq (A,A)\cdot (B,B)}

Betrachtet man nun B = [ C † , H ] {\displaystyle B=[C^{\dagger },H]} so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie F {\displaystyle F} eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator H {\displaystyle {\mathcal {H}}} des Systems durch eine Näherung H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}} ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

F ≤ F 0 + ⟨ H − H 0 ⟩ 0 , {\displaystyle F\leq F_{0}+\langle {\mathcal {H}}-{\mathcal {H}}_{0}\rangle _{0}\,,}

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. ⟨ X ⟩ 0 = S p u r ( e − β H 0 X ) S p u r e − β H 0 . {\displaystyle \langle X\rangle _{0}={\frac {{\rm {{Spur}\,\,}}(e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}X)}{{\rm {Spur}}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}}}\,.} Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, F = − β − 1 ln ⁡ S p u r e − β H . {\displaystyle F=-\beta ^{-1}\ln {\rm {{Spur}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}}}}\,.} Das Multiplikationszeichen, ⋅ , {\displaystyle \cdot \,,} ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist ( ln ⁡ a ⋅ b = ln ⁡ a + ln ⁡ b {\displaystyle \ln a\cdot b=\ln a+\ln b} ).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

  • Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2

Quellen

  1. ↑ N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).
  2. ↑ Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.
  3. ↑ siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality.